(Carath\'eodory 不等式) 利用 Scharwz 引理及线性变换, 证明: 若函数 $f(z)$ 在圆 $|z|<R$ 内全纯, 在 $|z|\leq R$ 上连续, $M(r)$ 及 $A(r)$ 分别为 $|f(z)|$ 及 $\Re f(z)$ 在圆周 $|z|=r$ 上的最大值, 则当 $0<r<R$ 时, 有 $ M(r)\leq \frac{2r}{R-r}A(R)+\frac{R+r}{R-r}|f(0)|.$

证明: (1) 当 $f(0)=0$ 时, 记 $A=A(R)$, 则由 $\Re f(z)$ 调和及最大模原理, $A\geq f(0)=0$. 所以 $f:D(0,R)\to \sed{w;\ \Re w\leq A}$. 记 $$\bex \psi(\xi)=R\xi,\quad \phi(w)=\frac{w}{w-2A}. \eex$$ 则 $\phi\circ f\circ \psi:D(0,1)\to D(0,1)$ 以 $0$ 为不动点. 由 Schwarz 引理, $$\beex \bea |\phi\circ f\circ \psi(\xi)|&\leq |\xi|,\quad \xi\in D(0,1),\\ |\phi(f(R\xi)|&\leq |\xi|,\quad \xi\in D(0,1),\\ \frac{|f(z)|}{|f(z)-2A}=|\phi(f(z))|&\leq\frac{|z|}{R},\quad z\in D(0,R),\\ |f(z)|&\leq \frac{2|z|A}{R-|z|},\quad z\in D(0,R),\\ M(r)&\leq \frac{2r}{R-r}A. \eea \eeex$$ (2) 当 $f(0)\neq 0$ 时, 考虑 $g(z)=f(z)-f(0)$, 则由 (1) 知 $$\beex \bea \max_{|z|=r}|g(z)|&\leq \frac{2r}{R-r}\max_{|z|=R}\Re g(z),\\ |f(z)|-|f(0)|&\leq \frac{2r}{R-r}[A(R)+|f(0)|],\quad|z|=r,\\ |f(z)|&\leq \frac{2r}{R-r}A(R)+\frac{R+r}{R-r}|f(0)|,\quad |z|=r. \eea \eeex$$