问题描述

给定\(n\)个矩阵\(\{A_1,A_2,A_3,...,A_n\}\)，其中\(A_i\)为\(P_{i-1}\times P_i\)矩阵，\(i = 1,...,n\)，并且\(A_i\)与\(A_{i-1}\)是可乘的。由于矩阵乘法满足结合律，所以计算矩阵的链乘可有许多不同的计算次序，两个矩阵\(A_{i\times j}\)与\(A_{j\times k}\)相乘的工作量为\(i\times j\times k\)次数乘。
给定向量\(P=<P_0,P_1,...,P_n>\)为\(n\)个矩阵的行数和列数，确定一种乘法次序，使得基本运算“数乘”的总次数最少。

完全加括号

完全加括号的矩阵链乘积可递归地定义为：

• 单个矩阵是完全加括号的
• 矩阵链乘积\(A\)是完全加括号的，则\(A\)可表示为两个完全加括号的矩阵链乘积\(B\)和\(C\)的乘积，并加括号，即\(A=(BC)\)

最优子结构

• 矩阵链乘\(A_iA_{i+1}...A_j\)简记为\(A_{i...j},i\leq j\)，于是矩阵链乘\(A_1A_2...A_n\)可记为\(A_{1...n}\)，完全加括号形式为\(A_{1...n}=A_{1...k}A_{k+1...n},1\leq k < n\)
• 矩阵连乘\(A_{1...n}\)的最优计算次序的计算量等于\(A_{1...k}\)和\(A_{k+1...n}\)两者的最优计算次序的计算量之和，再加上\(A_{1...k}\)和\(A_{k+1...n}\)相乘的计算量。矩阵链乘问题的最优解具有最优子结构特性。

最优解的递推关系

• 由\(i\)和\(j\)确定子问题的边界，输入\(P=<P_0,P_1,...P_n>\)

• 确定优化函数和递推方程：二维数组\(m\)用来保存矩阵链乘时所需的最小计算量

• 设立标记函数：为了确定加括号的次序，设计表\(s[i,j]\)记录求得最优时，最后一次运算的位置，即\(m[i][j]\)达到最小时\(k\)的划分。

算法描述（伪代码）

• 迭代实现 备忘录法

MatrixChain(P,n)
	令所有m[i,j]的初值为0；
	for r <- 2 to n   do
		for i <- 1 to n-r+1  do
			j <- i+r-1;
			m[i,j] <- m[i+1,j]+P_i-1P_iP_j;
			s[i,j] = i;
			for k <- i+1 to j-1  do
				t <- m[i,k]+m[k+1,j]+P_i-1P_kP_j;
				if t < m[i,j]
					then m[i,j] <- t;
						 s[i,j] <- k;

结束语

醉后不知天在水，满船清梦压星河

作者：花城

动态规划_备忘录法_矩阵链乘问题