Beef McNuggets题解

Hubert Chen

Farmer Brown's cows are up in arms, having heard that McDonalds is considering the introduction of a new product: Beef McNuggets. The cows are trying to find any possible way to put such a product in a negative
light.

One strategy the cows are pursuing is that of `inferior packaging'. ``Look,'' say the cows, ``if you have Beef McNuggets in boxes of 3, 6, and 10, you can not satisfy a customer who wants 1, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 14,
or 17 McNuggets. Bad packaging: bad product.''

Help the cows. Given N (the number of packaging options, 1 <= N <= 10), and a set of N positive integers (1 <= i <= 256) that represent the number of nuggets in the various packages, output the largest number of
nuggets that can not be purchased by buying nuggets in the given sizes. Print 0 if all possible purchases can be made or if there is no bound to the largest number.

The largest impossible number (if it exists) will be no larger than 2,000,000,000.

PROGRAM NAME: nuggets

INPUT FORMAT

Line 1:	N, the number of packaging options
Line 2..N+1:	The number of nuggets in one kind of box

OUTPUT FORMAT

The output file should contain a single line containing a single integer that represents the largest number of nuggets that can not be represented or 0 if all possible purchases can be made or if there is
no bound to the largest number.

描述

农夫布朗的奶牛们正在进行斗争，因为它们听说麦当劳正在考虑引进一种新产品：麦香牛块。奶牛们正在想尽一切办法让这种可怕的设想泡汤。奶牛们进行斗争的策略之一是“劣质的包装”。“看，”奶牛们说，“如果你只用一次能装3块、6块或者10块的三种包装盒包装麦香牛块，你就不可能满足一次只想买1、2、4、5、7、8、11、14或者17块麦香牛块的顾客了。劣质的包装意味着劣质的产品。”

你的任务是帮助这些奶牛。给出包装盒的种类数N(1<=N<=10)和N个代表不同种类包装盒容纳麦香牛块个数的正整数(1<=i<=256)，输出顾客不能用上述包装盒(每种盒子数量无限)买到麦香牛块的最大块数。如果所有购买方案都能得到满足或者不存在不能买到块数的上限，则输出0。 不能买到的最大块数（倘它存在）不超过2,000,000,000。

格式

PROGRAM NAME: nuggets

INPUT FORMAT:

(file nuggets.in)

第1行: 包装盒的种类数N

第2行到N+1行: 每个种类包装盒容纳麦香牛块的个数

OUTPUT FORMAT:

(file nuggets.out)

输出文件只有一行数字：顾客不能用包装盒买到麦香牛块的最大块数或0(如果所有购买方案都能得到满足或者顾客不能买到的块数没有上限)。

SAMPLE INPUT

3
3
6
10

SAMPLE OUTPUT

17

真的是数学不行啊，开始认为背包一定不行，因为要搜到20亿才能判断。走投无路下查看了相关的题解，发现枚举的范围是很小的一个数，即背包是可行的！

通过深入研究，我总结了以下的思路。

①我们先来证明为什么出解范围为什么可以<=256^2.有数论知识“有两个数p,q,且gcd(q,p)=1,则最大无法表示成px+qy（x>=0,y>=0)的数是pq-q-p”（证明可以参见http://blog.csdn.net/archibaldyangfan/article/details/7637831）因为题目中的数据都是小于等于256的，所以如果有最大无法表示的数，必然小于256^2（我们甚至可以抹去后面的减法）。

②那么，就可以采用构造法了，最坏复杂度是（256^2)*10。

对于无限解：

• 如果输入数据中有1，为无限解。
• 如果某个大于256^2的数不能被合成，为无限解。并且可以证明，这个数字一定小于等256^2+256。

一个不专业的证明：设x是1~256^2中最大的一个能被合成的数，y是min(data[i])（输入数据中最小的一个），易知x+min(q[i])-1不能被合成（由于没有1）。

③DP的优化（大牛无视此段）

------开始的时候我的DP竟然连样例都超时！

一开始的核心代码：

 memset(f,0,sizeof(f));
  f[0]=true;now=0;
  for (i=1;i<=n;i++)
  {
    for (j=0;j<=now;j++)
      if (f[j])
      {
        k=1;
        while (j+k*a[i]<=maxn)
        {
          f[j+k*a[i]]=true;
          k++;
        }
        k--;
        now=(j+k*a[i]>now)?(j+k*a[i]):now;
      }
  }

仔细一想，其实对于这个n^3的DP，有很多重复的点取处理了。我们可以采用无限背包的思想来解决。

以下是详细的AC代码：

/*
{
ID:juan1973
LANG:C++
PROG:nuggets
}
*/
#include<stdio.h>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=256*256;
const int maxx=256*256+256;
bool f[maxx+1],flag;
int nn,i,j,n,c,a[11],now,k;
int main()
{
  freopen("nuggets.in","r",stdin);
  freopen("nuggets.out","w",stdout);
  scanf("%ld",&nn);n=0;
  for (i=1;i<=nn;i++)
  {
    scanf("%ld",&c);
    if (c==1)
    {
      printf("0\n");
      return 0;
    }
    flag=true;
    for (j=1;j<=n;j++)
      if (c%a[j]==0) {flag=false;break;}
    if (flag) a[++n]=c;
  }
  memset(f,0,sizeof(f));
  f[0]=true;
  for (i=1;i<=n;i++)
    for (j=a[i];j<=maxx;j++)
      if (f[j-a[i]]) f[j]=true;
  for (i=maxx;i>maxn;i--) if (!f[i]) {printf("0\n");return 0;}
  for (i=maxn;i>0;i--)
    if (!f[i])
    {
      printf("%ld\n",i);
      return 0;
    }
  printf("0\n");
  return 0;
}