跳跃表的定义
跳跃表是一种有序数据结构，它通过在每个结点中维持多个指向其他结点的指针，从而达到快速访问其他结点的目的
跳跃表的结构
跳跃表操作的时间空间复杂度分析
1.跳跃表的结点插入
1）新结点从上到下与各层索引结点逐一比较，确定在原链表的插入位置：【O(log N）】
2）确定在原链表的插入位置后直接插入:【O(1)】
3）利用随机的方式决定新结点上升为几层索引结点：【O(log N)】
总体来说，跳跃表的插入操作的时间复杂度是O(log N)
2.跳跃表结点的查询
1）从上到下与索引结点进行比较，逐步缩小需要查询的结点所在的范围（因为跳跃表是有序的数据结构，类似于二分的思想）【平均：O（log N),最坏为O(N)】
总体来说，跳跃表的查询操作的时间复杂度为O(log N)
3.跳跃表结点的删除
1）自上而下，查找第一次出现结点的索引，并逐层找到每一层对应的结点:【O(log N)】
2）删除每一层查到的结点，如果该层只剩一个结点，删除整个一层（原链表除外）【O(log N)】
总的来说，跳跃表的删除操作的时间复杂度是O(log N)
4.跳跃表的空间复杂度
对于每层的期待：第一层n，第二层n/2，第三层n/22，...，直到 n/2log n=1。
所以，总空间需求：S = n + n/2 + n/22 + ... + n/2log n < n(1 + 1/2 + 1/22 + ... + 1/2∞) =2n
因此他的空间复杂度为 2n = O(n)
总的来说，跳跃表的空间复杂度为O(N)
5.跳跃表的高度
对每层来说，它会向上增长的概率为1/2，则第m层向上增长的概率为1/2m；
n个元素，则在m层元素数目的期待为Em = n/2m；
当Em = 1，m = log2n即为层数的期待。
故其高度期待为 Eh = O(log n)。
其他知识
1.大多数情况下，跳跃表的效率的平衡树不相上下， 并且跳跃表的实现更加简单
2.Redis使用跳跃表作为有序集合键的底层实现之一，如果一个有序集合包含的元素数量多，又或者有序集合中元素的成员是比较长的字符串时，Redis就会采用跳跃表来作为有序集合键的底层实现
3.Redis只在两个地方使用了跳跃表：有序集合键和集群结点中用作内部数据结构
4.跳跃表结点的后退指针只能后退到原链表的前一个结点，每次只能后推一个结点
5.跳跃表结点按照分值升序排序
6.在同一个跳跃表中，各个结点保存的成员对象必须是唯一的，但是多个结点保存的分值可以相同
7.通过跳跃表属性的记录，跳跃表可以在O(1)获取头尾结点，表长度和层数
8.每个跳跃表结点的层高都是1-32的随机数
9.跳跃表的真正源码在redis的redis.h文件和t_zset.c文件下
源码分析如下：
zskiplist.h文件：
#ifndef ZSKIPLIST_H
#define ZSKIPLIST_H //the last time an object was accessed
#define REDIS_LRU_BITS 24 //zskiplist max level,Should be enough for 2^32 elements
#define ZSKIPLIST_MAXLEVEL 32 //Skiplist P = 1/4
#define ZSKIPLIST_P 0.25 //=====数据结构========//
/*
* Redis 对象
*/
typedef struct redisObject
{
// 类型
unsigned type:; // 编码
unsigned encoding:; // 对象最后一次被访问的时间
unsigned lru:
REDIS_LRU_BITS; /* lru time ( ) */ // 引用计数
int refcount; // 指向实际值的指针
void *ptr;
} robj; /*
* 跳跃表节点
*/
typedef struct zskiplistNode
{ // 成员对象
robj *obj; // 分值
double score; // 后退指针
struct zskiplistNode *backward; // 层
struct zskiplistLevel
{ // 前进指针
struct zskiplistNode *forward; // 跨度
unsigned int span; } level[]; } zskiplistNode; /*
* 跳跃表
*/
typedef struct zskiplist
{
// 表头节点和表尾节点
struct zskiplistNode *header, *tail; // 表中节点的数量
unsigned long length; // 表中层数最大的节点的层数
int level; } zskiplist; // 表示开区间/闭区间范围的结构
typedef struct
{ // 最小值和最大值
double min, max; // 指示最小值和最大值是否*不*包含在范围之内
// 值为 1 表示不包含，值为 0 表示包含
int minex, maxex; /* are min or max exclusive? */
} zrangespec; //=========== API定义 ===============//
//创建一个新的跳跃表
zskiplist *zslCreate(void); //释放给定跳跃表，以及表中所有的结点
void zslFree(zskiplist *zsl); //将包含给定成员和分值的新结点添加到跳跃表中
zskiplistNode *zslInsert(zskiplist *zsl, double score, robj *obj); //删除跳跃表中包含给定成员和分值的结点
int zslDelete(zskiplist *zsl, double score, robj *obj); //返回包含给定成员和分值的结点在跳跃表中的排位
unsigned long zslGetRank(zskiplist *zsl, double score, robj *o); //返回跳跃表在给定排位上的结点
zskiplistNode* zslGetElementByRank(zskiplist *zsl, unsigned long rank); //给定一个分值范围，判断该分值范围是否包含在跳跃表的分值范围内
int zslIsInRange(zskiplist *zsl, zrangespec *range); //给定一个分值范围，返回跳跃表中第一个符合这个范围的结点
zskiplistNode *zslFirstInRange(zskiplist *zsl, zrangespec *range); //给定一个分值范围，返回跳跃表中最后一个符合这个范围的结点
zskiplistNode *zslLastInRange(zskiplist *zsl, zrangespec *range); //给定一个分值范围，删除跳跃表中所有在这个范围内的结点
unsigned long zslDeleteRangeByScore(zskiplist *zsl, zrangespec *range); //给定一个排位范围，删除跳跃表中所有在这个范围内的结点
unsigned long zslDeleteRangeByRank(zskiplist *zsl, unsigned int start, unsigned int end); #endif // ZSKIPLIST_H
zskiplist.c文件：
#include<malloc.h>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include "zskiplist.h" /*
* 创建一个层数为 level 的跳跃表节点，
* 并将节点的成员对象设置为 obj ，分值设置为 score 。
*
* 返回值为新创建的跳跃表节点
*
* T = O(1)
*/
zskiplistNode *zslCreateNode(int level, double score, robj *obj)
{ // 分配空间
//在这里我没有使用redis提供的内存分配函数zmalloc，而是使用c提供的malloc
//zskiplistNode *zn = zmalloc(sizeof(*zn)+level*sizeof(struct zskiplistLevel));
zskiplistNode *zn = malloc(sizeof(*zn)+level*sizeof(struct zskiplistLevel)); // 设置属性
zn->score = score;
zn->obj = obj; return zn;
}
/*
* 创建并返回一个新的跳跃表
*
* T = O(1)
*/
zskiplist *zslCreate(void)
{
int j;
zskiplist *zsl; // 分配空间
//zsl = zmalloc(sizeof(*zsl));
zsl = malloc(sizeof(*zsl)); // 设置高度和起始层数
zsl->level = ;
zsl->length = ; // 初始化表头节点
// T = O(1)
zsl->header = zslCreateNode(ZSKIPLIST_MAXLEVEL,,NULL);
for (j = ; j < ZSKIPLIST_MAXLEVEL; j++)
{
zsl->header->level[j].forward = NULL;
zsl->header->level[j].span = ;
}
zsl->header->backward = NULL; // 设置表尾
zsl->tail = NULL; return zsl;
} /*
* 释放给定的跳跃表节点
*
* T = O(1)
*/
void zslFreeNode(zskiplistNode *node)
{ //对象引用计数-1
//在这里我将引用计数去掉了，因为只是为了演示zskiplist，没有必要，而且加上这个还要引入其他头文件才能跑
//decrRefCount(node->obj); //zfree(node);
//同样，这里采用的是c提供的函数，没有使用redis提供的内存函数zfree
free(node);
} /*
* 释放给定跳跃表，以及表中的所有节点
*
* T = O(N)
*/
void zslFree(zskiplist *zsl)
{ zskiplistNode *node = zsl->header->level[].forward, *next; // 释放表头
//zfree(zsl->header);
free(zsl->header); // 释放表中所有节点
// T = O(N)
while(node)
{ next = node->level[].forward; zslFreeNode(node); node = next;
} // 释放跳跃表结构
//zfree(zsl);
free(zsl);
} /*
* 返回一个随机值，用作新跳跃表节点的层数。
*
* 返回值介乎 1 和 ZSKIPLIST_MAXLEVEL 之间（包含 ZSKIPLIST_MAXLEVEL），
* 根据随机算法所使用的幂次定律，越大的值生成的几率越小。
*
* T = O(N)
*/
int zslRandomLevel(void)
{
int level = ; while ((rand()&0xFFFF) < (ZSKIPLIST_P * 0xFFFF))
level += ; return (level<ZSKIPLIST_MAXLEVEL) ? level : ZSKIPLIST_MAXLEVEL;
} /*
* 创建一个成员为 obj ，分值为 score 的新节点，
* 并将这个新节点插入到跳跃表 zsl 中。
*
* 函数的返回值为新节点。
*
* T_wrost = O(N), T_avg = O(log N)
*/
zskiplistNode *zslInsert(zskiplist *zsl, double score, robj *obj)
{
zskiplistNode *update[ZSKIPLIST_MAXLEVEL], *x;
unsigned int rank[ZSKIPLIST_MAXLEVEL];
int i, level; //redisAssert(!isnan(score)); // 在各个层查找节点的插入位置
// T_wrost = O(N), T_avg = O(log N)
x = zsl->header;
for (i = zsl->level-; i >= ; i--)
{ /* store rank that is crossed to reach the insert position */
// 如果 i 不是 zsl->level-1 层
// 那么 i 层的起始 rank 值为 i+1 层的 rank 值
// 各个层的 rank 值一层层累积
// 最终 rank[0] 的值加一就是新节点的前置节点的排位
// rank[0] 会在后面成为计算 span 值和 rank 值的基础
rank[i] = i == (zsl->level-) ? : rank[i+]; // 沿着前进指针遍历跳跃表
// T_wrost = O(N), T_avg = O(log N)
while (x->level[i].forward &&
(x->level[i].forward->score < score ||
// 比对分值
(x->level[i].forward->score == score &&
// 比对成员， T = O(N)
/* compareStringObjects(x->level[i].forward->obj,obj) < 0*/)))
{ // 记录沿途跨越了多少个节点
rank[i] += x->level[i].span; // 移动至下一指针
x = x->level[i].forward;
}
// 记录将要和新节点相连接的节点
update[i] = x;
} /*
* zslInsert() 的调用者会确保同分值且同成员的元素不会出现，
* 所以这里不需要进一步进行检查，可以直接创建新元素。
*/ // 获取一个随机值作为新节点的层数
level = zslRandomLevel(); // 如果新节点的层数比表中其他节点的层数都要大
// 那么初始化表头节点中未使用的层，并将它们记录到 update 数组中
// 将来也指向新节点
if (level > zsl->level)
{ // 初始化未使用层
// T = O(1)
for (i = zsl->level; i < level; i++)
{
rank[i] = ;
update[i] = zsl->header;
update[i]->level[i].span = zsl->length;
} // 更新表中节点最大层数
zsl->level = level;
} // 创建新节点
x = zslCreateNode(level,score,obj); // 将前面记录的指针指向新节点，并做相应的设置
// T = O(1)
for (i = ; i < level; i++)
{ // 设置新节点的 forward 指针
x->level[i].forward = update[i]->level[i].forward; // 将沿途记录的各个节点的 forward 指针指向新节点
update[i]->level[i].forward = x; /* update span covered by update[i] as x is inserted here */
// 计算新节点跨越的节点数量
x->level[i].span = update[i]->level[i].span - (rank[] - rank[i]); // 更新新节点插入之后，沿途节点的 span 值
// 其中的 +1 计算的是新节点
update[i]->level[i].span = (rank[] - rank[i]) + ;
} /* increment span for untouched levels */
// 未接触的节点的 span 值也需要增一，这些节点直接从表头指向新节点
// T = O(1)
for (i = level; i < zsl->level; i++)
{
update[i]->level[i].span++;
} // 设置新节点的后退指针
x->backward = (update[] == zsl->header) ? NULL : update[];
if (x->level[].forward)
x->level[].forward->backward = x;
else
zsl->tail = x; // 跳跃表的节点计数增一
zsl->length++; return x;
} /*
* 内部删除函数，
* 被 zslDelete 、 zslDeleteRangeByScore 和 zslDeleteByRank 等函数调用。
*
* T = O(1)
*/
void zslDeleteNode(zskiplist *zsl, zskiplistNode *x, zskiplistNode **update)
{
int i; // 更新所有和被删除节点 x 有关的节点的指针，解除它们之间的关系
// T = O(1)
for (i = ; i < zsl->level; i++)
{
if (update[i]->level[i].forward == x)
{
update[i]->level[i].span += x->level[i].span - ;
update[i]->level[i].forward = x->level[i].forward;
}
else
{
update[i]->level[i].span -= ;
}
} // 更新被删除节点 x 的前进和后退指针
if (x->level[].forward)
{
x->level[].forward->backward = x->backward;
}
else
{
zsl->tail = x->backward;
} // 更新跳跃表最大层数（只在被删除节点是跳跃表中最高的节点时才执行）
// T = O(1)
while(zsl->level > && zsl->header->level[zsl->level-].forward == NULL)
zsl->level--; // 跳跃表节点计数器减一
zsl->length--;
} /*
* 从跳跃表 zsl 中删除包含给定节点 score 并且带有指定对象 obj 的节点。
*
* T_wrost = O(N^2), T_avg = O(N log N)
*/
int zslDelete(zskiplist *zsl, double score, robj *obj)
{
zskiplistNode *update[ZSKIPLIST_MAXLEVEL], *x;
int i; // 遍历跳跃表，查找目标节点，并记录所有沿途节点
// T_wrost = O(N), T_avg = O(log N)
x = zsl->header;
for (i = zsl->level-; i >= ; i--)
{ // 遍历跳跃表的复杂度为 T_wrost = O(N), T_avg = O(log N)
while (x->level[i].forward &&
(x->level[i].forward->score < score ||
// 比对分值
(x->level[i].forward->score == score &&
// 比对对象，T = O(N)
/*compareStringObjects(x->level[i].forward->obj,obj) < 0*/))) // 沿着前进指针移动
x = x->level[i].forward; // 记录沿途节点
update[i] = x;
} /*
* 检查找到的元素 x ，只有在它的分值和对象都相同时，才将它删除。
*/
x = x->level[].forward;
if (x && score == x->score && /*equalStringObjects(x->obj,obj)*/)
{
// T = O(1)
zslDeleteNode(zsl, x, update);
// T = O(1)
zslFreeNode(x);
return ;
}
else
{
return ; /* not found */
} return ; /* not found */
} /*
* 查找包含给定分值和成员对象的节点在跳跃表中的排位。
*
* 如果没有包含给定分值和成员对象的节点，返回 0 ，否则返回排位。
*
* 注意，因为跳跃表的表头也被计算在内，所以返回的排位以 1 为起始值。
*
* T_wrost = O(N), T_avg = O(log N)
*/
unsigned long zslGetRank(zskiplist *zsl, double score, robj *o)
{
zskiplistNode *x;
unsigned long rank = ;
int i; // 遍历整个跳跃表
x = zsl->header;
for (i = zsl->level-; i >= ; i--)
{ // 遍历节点并对比元素
while (x->level[i].forward &&
(x->level[i].forward->score < score ||
// 比对分值
(x->level[i].forward->score == score &&
// 比对成员对象
/*compareStringObjects(x->level[i].forward->obj,o) <= 0*/)))
{ // 累积跨越的节点数量
rank += x->level[i].span; // 沿着前进指针遍历跳跃表
x = x->level[i].forward;
} /* x might be equal to zsl->header, so test if obj is non-NULL */
// 必须确保不仅分值相等，而且成员对象也要相等
// T = O(N)
if (x->obj && /*equalStringObjects(x->obj,o)*/)
{
return rank;
}
}
// 没找到
return ;
} /*
* 根据排位在跳跃表中查找元素。排位的起始值为 1 。
*
* 成功查找返回相应的跳跃表节点，没找到则返回 NULL 。
*
* T_wrost = O(N), T_avg = O(log N)
*/
zskiplistNode* zslGetElementByRank(zskiplist *zsl, unsigned long rank)
{
zskiplistNode *x;
unsigned long traversed = ;
int i; // T_wrost = O(N), T_avg = O(log N)
x = zsl->header;
for (i = zsl->level-; i >= ; i--)
{ // 遍历跳跃表并累积越过的节点数量
while (x->level[i].forward && (traversed + x->level[i].span) <= rank)
{
traversed += x->level[i].span;
x = x->level[i].forward;
} // 如果越过的节点数量已经等于 rank
// 那么说明已经到达要找的节点
if (traversed == rank)
{
return x;
} } // 没找到目标节点
return NULL;
} /*
* 检测给定值 value 是否大于（或大于等于）范围 spec 中的 min 项。
*
* 返回 1 表示 value 大于等于 min 项，否则返回 0 。
*
* T = O(1)
*/
static int zslValueGteMin(double value, zrangespec *spec)
{
return spec->minex ? (value > spec->min) : (value >= spec->min);
} /*
* 检测给定值 value 是否小于（或小于等于）范围 spec 中的 max 项。
*
* 返回 1 表示 value 小于等于 max 项，否则返回 0 。
*
* T = O(1)
*/
static int zslValueLteMax(double value, zrangespec *spec)
{
return spec->maxex ? (value < spec->max) : (value <= spec->max);
} /* Returns if there is a part of the zset is in range.
*
* 如果给定的分值范围包含在跳跃表的分值范围之内，
* 那么返回 1 ，否则返回 0 。
*
* T = O(1)
*/
int zslIsInRange(zskiplist *zsl, zrangespec *range)
{
zskiplistNode *x; // 先排除总为空的范围值
if (range->min > range->max ||
(range->min == range->max && (range->minex || range->maxex)))
return ; // 检查最大分值
x = zsl->tail;
if (x == NULL || !zslValueGteMin(x->score,range))
return ; // 检查最小分值
x = zsl->header->level[].forward;
if (x == NULL || !zslValueLteMax(x->score,range))
return ; return ;
} /*
* 返回 zsl 中第一个分值符合 range 中指定范围的节点。
* Returns NULL when no element is contained in the range.
*
* 如果 zsl 中没有符合范围的节点，返回 NULL 。
*
* T_wrost = O(N), T_avg = O(log N)
*/
zskiplistNode *zslFirstInRange(zskiplist *zsl, zrangespec *range)
{
zskiplistNode *x;
int i; /* If everything is out of range, return early. */
if (!zslIsInRange(zsl,range)) return NULL; // 遍历跳跃表，查找符合范围 min 项的节点
// T_wrost = O(N), T_avg = O(log N)
x = zsl->header;
for (i = zsl->level-; i >= ; i--)
{
/* Go forward while *OUT* of range. */
while (x->level[i].forward &&
!zslValueGteMin(x->level[i].forward->score,range))
x = x->level[i].forward;
} /* This is an inner range, so the next node cannot be NULL. */
x = x->level[].forward;
//redisAssert(x != NULL); /* Check if score <= max. */
// 检查节点是否符合范围的 max 项
// T = O(1)
if (!zslValueLteMax(x->score,range)) return NULL;
return x;
} /*
* 返回 zsl 中最后一个分值符合 range 中指定范围的节点。
*
* 如果 zsl 中没有符合范围的节点，返回 NULL 。
*
* T_wrost = O(N), T_avg = O(log N)
*/
zskiplistNode *zslLastInRange(zskiplist *zsl, zrangespec *range)
{
zskiplistNode *x;
int i; /* If everything is out of range, return early. */
// 先确保跳跃表中至少有一个节点符合 range 指定的范围，
// 否则直接失败
// T = O(1)
if (!zslIsInRange(zsl,range)) return NULL; // 遍历跳跃表，查找符合范围 max 项的节点
// T_wrost = O(N), T_avg = O(log N)
x = zsl->header;
for (i = zsl->level-; i >= ; i--)
{
/* Go forward while *IN* range. */
while (x->level[i].forward &&
zslValueLteMax(x->level[i].forward->score,range))
x = x->level[i].forward;
} /* This is an inner range, so this node cannot be NULL. */
//redisAssert(x != NULL); /* Check if score >= min. */
// 检查节点是否符合范围的 min 项
// T = O(1)
if (!zslValueGteMin(x->score,range)) return NULL; // 返回节点
return x;
} /* Delete all the elements with score between min and max from the skiplist.
*
* 删除所有分值在给定范围之内的节点。
*
* Min and max are inclusive, so a score >= min || score <= max is deleted.
*
* min 和 max 参数都是包含在范围之内的，所以分值 >= min 或 <= max 的节点都会被删除。
*
* Note that this function takes the reference to the hash table view of the
* sorted set, in order to remove the elements from the hash table too.
*
* 节点不仅会从跳跃表中删除，而且会从相应的字典中删除。
*
* 返回值为被删除节点的数量
*
* T = O(N)
*/
unsigned long zslDeleteRangeByScore(zskiplist *zsl, zrangespec *range/*, dict *dict*/)
{
zskiplistNode *update[ZSKIPLIST_MAXLEVEL], *x;
unsigned long removed = ;
int i; // 记录所有和被删除节点（们）有关的节点
// T_wrost = O(N) , T_avg = O(log N)
x = zsl->header;
for (i = zsl->level-; i >= ; i--)
{
while (x->level[i].forward && (range->minex ?
x->level[i].forward->score <= range->min :
x->level[i].forward->score < range->min))
x = x->level[i].forward;
update[i] = x;
} /* Current node is the last with score < or <= min. */
// 定位到给定范围开始的第一个节点
x = x->level[].forward; /* Delete nodes while in range. */
// 删除范围中的所有节点
// T = O(N)
while (x &&
(range->maxex ? x->score < range->max : x->score <= range->max))
{
// 记录下个节点的指针
zskiplistNode *next = x->level[].forward;
zslDeleteNode(zsl,x,update);
//dictDelete(dict,x->obj);
zslFreeNode(x);
removed++;
x = next;
}
return removed;
} /* Delete all the elements with rank between start and end from the skiplist.
*
* 从跳跃表中删除所有给定排位内的节点。
*
* Start and end are inclusive. Note that start and end need to be 1-based
*
* start 和 end 两个位置都是包含在内的。注意它们都是以 1 为起始值。
*
* 函数的返回值为被删除节点的数量。
*
* T = O(N)
*/
unsigned long zslDeleteRangeByRank(zskiplist *zsl, unsigned int start, unsigned int end/*, dict *dict*/)
{
zskiplistNode *update[ZSKIPLIST_MAXLEVEL], *x;
unsigned long traversed = , removed = ;
int i; // 沿着前进指针移动到指定排位的起始位置，并记录所有沿途指针
// T_wrost = O(N) , T_avg = O(log N)
x = zsl->header;
for (i = zsl->level-; i >= ; i--)
{
while (x->level[i].forward && (traversed + x->level[i].span) < start)
{
traversed += x->level[i].span;
x = x->level[i].forward;
}
update[i] = x;
} // 移动到排位的起始的第一个节点
traversed++;
x = x->level[].forward;
// 删除所有在给定排位范围内的节点
// T = O(N)
while (x && traversed <= end)
{ // 记录下一节点的指针
zskiplistNode *next = x->level[].forward; // 从跳跃表中删除节点
zslDeleteNode(zsl,x,update);
// 从字典中删除节点
//dictDelete(dict,x->obj);
// 释放节点结构
zslFreeNode(x); // 为删除计数器增一
removed++; // 为排位计数器增一
traversed++; // 处理下个节点
x = next;
} // 返回被删除节点的数量
return removed;
} int main() {}
zskiplist.h和zskiplist.c文件是我自己取的，跳跃表的真正源码在redis的redis.h文件和t_zset.c文件下