原文：http://blog.csdn.net/abcjennifer/article/details/7732417
本讲内容：
Matlab 实现各种回归函数
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基本模型
Y=θ0+θ1X1型---线性回归（直线拟合）
解决过拟合问题---Regularization
Y=1/(1+e^X)型---逻辑回归（sigmod 函数拟合）
在解决拟合问题的解决之前，我们首先回忆一下线性回归和逻辑回归的基本模型。
设待拟合参数 θn*1 和输入参数[ xm*n, ym*1 ] 。
对于各类拟合我们都要根据梯度下降的算法，给出两部分：
① cost function（指出真实值y与拟合值h<hypothesis>之间的距离）：给出cost function 的表达式，每次迭代保证cost function的量减小；给出梯度gradient，即cost function对每一个参数θ的求导结果。
function [ jVal,gradient ] = costFunction ( theta )
② Gradient_descent（主函数）：用来运行梯度下降算法，调用上面的cost function进行不断迭代，直到最大迭代次数达到给定标准或者cost function返回值不再减小。
function [optTheta,functionVal,exitFlag]=Gradient_descent( )
线性回归：拟合方程为hθ(x)=θ0x0+θ1x1+…+θnxn，当然也可以有xn的幂次方作为线性回归项（如），这与普通意义上的线性不同，而是类似多项式的概念。
其cost function 为：
逻辑回归：拟合方程为hθ(x)=1/(1+e^(θTx))，其cost function 为：
cost function对各θj的求导请自行求取，看第三章最后一图，或者参见后文代码。
后面，我们分别对几个模型方程进行拟合，给出代码，并用matlab中的fit函数进行验证。
在Matlab 线性拟合 & 非线性拟合中我们已经讲过如何用matlab自带函数fit进行直线和曲线的拟合，非常实用。而这里我们是进行ML课程的学习，因此研究如何利用前面讲到的梯度下降法（gradient descent）进行拟合。
function [ jVal,gradient ] = costFunction2( theta )
%COSTFUNCTION2 Summary of this function goes here
% linear regression -> y=theta0 + theta1*x
% parameter: x:m*n theta:n* y:m* (m=,n=)
% %Data
x=[;;;];
y=[1.1;2.2;2.7;3.8];
m=size(x,); hypothesis = h_func(x,theta);
delta = hypothesis - y;
jVal=sum(delta.^); gradient()=sum(delta)/m;
gradient()=sum(delta.*x)/m; end
其中，h_func是hypothesis的结果：
function [res] = h_func(inputx,theta)
%H_FUNC Summary of this function goes here
% Detailed explanation goes here %cost function
res= theta()+theta()*inputx;function [res] = h_func(inputx,theta)
end
Gradient_descent：
function [optTheta,functionVal,exitFlag]=Gradient_descent( )
%GRADIENT_DESCENT Summary of this function goes here
% Detailed explanation goes here options = optimset('GradObj','on','MaxIter',);
initialTheta = zeros(,);
[optTheta,functionVal,exitFlag] = fminunc(@costFunction2,initialTheta,options); end
result：
>> [optTheta,functionVal,exitFlag] = Gradient_descent() Local minimum found. Optimization completed because the size of the gradient is less than
the default value of the function tolerance. <stopping criteria details> optTheta = 0.3000
0.8600 functionVal = 0.0720 exitFlag =
function [ parameter ] = checkcostfunc( )
%CHECKC2 Summary of this function goes here
% check if the cost function works well
% check with the matlab fit function as standard %check cost function
x=[;;;];
y=[1.1;2.2;2.7;3.8]; EXPR= {'x',''};
p=fittype(EXPR);
parameter=fit(x,y,p); end
运行结果：
>> checkcostfunc()
ans =
Linear model:
ans(x) = a*x + b
Coefficients (with % confidence bounds):
a = 0.86 (0.4949, 1.225)
b = 0.3 (-0.6998, 1.3)
和我们的结果一样。下面画图：
function PlotFunc( xstart,xend )
%PLOTFUNC Summary of this function goes here
% draw original data and the fitted %===================cost function ====linear regression
%original data
x1=[;;;];
y1=[1.1;2.2;2.7;3.8];
%plot(x1,y1,'ro-','MarkerSize',);
plot(x1,y1,'rx','MarkerSize',);
hold on; %fitted line - 拟合曲线
x_co=xstart:0.1:xend;
y_co=0.3+0.86*x_co;
%plot(x_co,y_co,'g');
plot(x_co,y_co); hold off;
end
过拟合问题解决方法我们已在第三章中讲过，利用Regularization的方法就是在cost function中加入关于θ的项，使得部分θ的值偏小，从而达到fit效果。
在每次迭代中，按照gradient descent的方法更新参数θ：θ(i)-=gradient(i),其中gradient(i)是J(θ)对θi求导的函数式，在此例中就有gradient(1)=2*(theta(1)-5), gradient(2)=2*(theta(2)-5)。
函数costFunction, 定义jVal=J(θ)和对两个θ的gradient：
function [ jVal,gradient ] = costFunction( theta )
%COSTFUNCTION Summary of this function goes here
% Detailed explanation goes here jVal= (theta()-)^+(theta()-)^; gradient = zeros(,);
%code to compute derivative to theta
gradient() = * (theta()-);
gradient() = * (theta()-); end
Gradient_descent，进行参数优化
function [optTheta,functionVal,exitFlag]=Gradient_descent( )
%GRADIENT_DESCENT Summary of this function goes here
% Detailed explanation goes here options = optimset('GradObj','on','MaxIter',);
initialTheta = zeros(,)
[optTheta,functionVal,exitFlag] = fminunc(@costFunction,initialTheta,options); end
matlab主窗口中调用，得到优化厚的参数(θ1,θ2)=(5,5)
[optTheta,functionVal,exitFlag] = Gradient_descent() initialTheta = Local minimum found. Optimization completed because the size of the gradient is less than
the default value of the function tolerance. <stopping criteria details> optTheta = functionVal = exitFlag =
第四部分：Y=1/(1+e^X)型---逻辑回归（sigmod 函数拟合）
hypothesis function:
function [res] = h_func(inputx,theta) %cost function
tmp=theta()+theta()*inputx;%m*
res=./(+exp(-tmp));%m* end
cost function:
function [ jVal,gradient ] = costFunction3( theta )
%COSTFUNCTION3 Summary of this function goes here
% Logistic Regression x=[-; -; -; ; ; ; ];
y=[0.01; 0.05; 0.3; 0.45; 0.8; 1.1; 0.99];
m=size(x,); %hypothesis data
hypothesis = h_func(x,theta); %jVal-cost function & gradient updating
jVal=-sum(log(hypothesis+0.01).*y + (-y).*log(-hypothesis+0.01))/m;
gradient()=sum(hypothesis-y)/m; %reflect to theta1
gradient()=sum((hypothesis-y).*x)/m; %reflect to theta end
Gradient_descent:
function [optTheta,functionVal,exitFlag]=Gradient_descent( )
options = optimset('GradObj','on','MaxIter',);
initialTheta = [;];
[optTheta,functionVal,exitFlag] = fminunc(@costFunction3,initialTheta,options);
end
运行结果：
[optTheta,functionVal,exitFlag] = Gradient_descent() Local minimum found. Optimization completed because the size of the gradient is less than
the default value of the function tolerance. <stopping criteria details> optTheta = 0.3526
1.7573 functionVal = 0.2498 exitFlag =
画图验证：