斐波那契数列

概述：

　　斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。

求解：

求解斐波那契数列的F(n)有两种常用算法：递归算法和非递归算法。试分析两种算法的时间复杂度。

1 递归算法

#!/usr/bin/env python

# -*- coding:utf-8 -*-

def fibonacci(n):

    if n == 0:

        return 0

    elif n <= 2:

        return 1

    else:

        return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)

fibonacci(100)

时间复杂度：求解F(n),必须先计算F(n-1)和F(n-2),计算F(n-1)和F(n-2)，又必须先计算F(n-3)和F(n-4)。。。。。。以此类推，直至必须先计算F(1)和F(0),然后逆推得到F(n-1)和F(n-2)的结果，从而得到F(n)要计算很多重复的值，在时间上造成了很大的浪费，算法的时间复杂度随着N的增大呈现指数增长，时间的复杂度为O(2^n)，即2的n次方　

2 非递归算法

#!/usr/bin/env python

# -*- coding:utf-8 -*-

def fibonacci(n):

    if n == 0:

        return 0

    elif n <= 2:

        return 1

    else:

        num1 = 1

        num2 = 1

        for i in range(2,n-1):

            num1,num2 = num2,num2 + num1

        return num1 + num2

print(fibonacci(100))

算法复杂度:从n>2开始计算，用F(n-1)和F(n-2)两个数相加求出结果，这样就避免了大量的重复计算，它的效率比递归算法快得多，算法的时间复杂度与n成正比，即算法的时间复杂度为O(n)