虚树是什么

对于一棵树，如果我们多次查询，第 \(i\) 次查询，给出树上的 \(k_i\) 个节点，查询它们公共的信息、互相的贡献等等。每次 dfs 整棵树，时间复杂度是 \(O(nT)\) 的。但是如果我们每次查询把无用的节点删除，只保留 \(k_i\) 个节点以及他们的 lca，那么最多会有约 \(2k_i\) 个节点，再进行 dfs，总共时间复杂度是 \(O(n\sum\limits_i k_i)\) 的。

如何建立虚树

我们先把 \(k\)​ 个关键节点按照 dfs 序 排序，维护当前的最右链（带着炸毛环境的画外音响起：维护右链！）。我们用一个栈维护当前的右链是什么，一开始栈顶元素就是根节点。（节点上的数字代表它在栈中下标）

如果我们加入一个新节点，新节点在原树上与栈顶元素的 LCA 如图：

那么我们就不断将栈顶和栈第二连边（比如当前栈顶是 4，栈第二是 3，那就连边 4-3，然后弹栈）。弹栈表示这个点已经不是最右链，将它放入虚树中并弹出。

不停地弹栈，直到栈中元素只有一个（此时再弹就空了），或者栈顶元素比 LCA 浅，我们就停止弹栈。如果 LCA 刚好不是栈顶元素，那么就连边 top-LCA ，然后将 LCA 加入栈顶。最后将当前的元素加入栈顶。

到最后，如果栈中还有元素，那么就不断弹栈，将栈顶与栈第二连边。

虚树就建好啦！

虚树例题

SvT

建出后缀树后，就变成了求每个后缀对应的节点的两两 LCA 深度之和。

用虚树就可以低时间复杂度树形 DP 了。