本文以NMF和经典SVD为例，讲一讲矩阵分解在推荐系统中的应用。

数据

item\user	Ben	Tom	John	Fred
item 1	5	5	0	5
item 2	5	0	3	4
item 3	3	4	0	3
item 4	0	0	5	3
item 5	5	4	4	5
item 6	5	4	5	5

user\item	item 1	item 2	item 3	item 4	item 5	item 6
Ben	5	5	3	0	5	5
Tom	5	0	4	0	4	4
John	0	3	0	5	4	5
Fred	5	4	3	3	5	5

NMF

关于NMF，在浅谈隐语义模型和NMF已经有过介绍。

用户和物品的主题分布

#!/usr/bin/python2.7

# coding: UTF-8

import numpy as np

from sklearn.decomposition import NMF

import matplotlib.pyplot as plt

RATE_MATRIX = np.array(

    [[5, 5, 3, 0, 5, 5],

     [5, 0, 4, 0, 4, 4],

     [0, 3, 0, 5, 4, 5],

     [5, 4, 3, 3, 5, 5]]

)

nmf = NMF(n_components=2)  # 设有2个隐主题

user_distribution = nmf.fit_transform(RATE_MATRIX)

item_distribution = nmf.components_

print '用户的主题分布：'

print user_distribution

print '物品的主题分布：'

print item_distribution

运行后输出：

用户的主题分布：

[[ 2.20884275  0.84137492]

 [ 2.08253282 -0.        ]

 [-0.          3.18154406]

 [ 1.84992603  1.60839505]]

物品的主题分布：

[[ 2.4129931   1.02524235  1.62258152  0.          1.80111078  1.69591943]

 [ 0.0435741   1.13506094  0.          1.54526337  1.21253494  1.48756118]]

可视化物品的主题分布：

#!/usr/bin/python2.7

# coding: UTF-8

import numpy as np

from sklearn.decomposition import NMF

import matplotlib.pyplot as plt

RATE_MATRIX = np.array(

    [[5, 5, 3, 0, 5, 5],

     [5, 0, 4, 0, 4, 4],

     [0, 3, 0, 5, 4, 5],

     [5, 4, 3, 3, 5, 5]]

)

nmf = NMF(n_components=2)

user_distribution = nmf.fit_transform(RATE_MATRIX)

item_distribution = nmf.components_

item_distribution = item_distribution.T

plt.plot(item_distribution[:, 0], item_distribution[:, 1], "b*")

plt.xlim((-1, 3))

plt.ylim((-1, 3))

plt.title(u'the distribution of items (NMF)')

count = 1

for item in item_distribution:

    plt.text(item[0], item[1], 'item '+str(count), bbox=dict(facecolor='red', alpha=0.2),)

    count += 1

plt.show()

结果：

从距离的角度来看，item 5和item 6比较类似；从余弦相似度角度看，item 2、5、6 比较相似，item 1、3比较相似。

可视化用户的主题分布：

#!/usr/bin/python2.7

# coding: UTF-8

import numpy as np

from sklearn.decomposition import NMF

import matplotlib.pyplot as plt

RATE_MATRIX = np.array(

    [[5, 5, 3, 0, 5, 5],

     [5, 0, 4, 0, 4, 4],

     [0, 3, 0, 5, 4, 5],

     [5, 4, 3, 3, 5, 5]]

)

nmf = NMF(n_components=2)

user_distribution = nmf.fit_transform(RATE_MATRIX)

item_distribution = nmf.components_

users = ['Ben', 'Tom', 'John', 'Fred']

zip_data = zip(users, user_distribution)

plt.title(u'the distribution of users (NMF)')

plt.xlim((-1, 3))

plt.ylim((-1, 4))

for item in zip_data:

    user_name = item[0]

    data = item[1]

    plt.plot(data[0], data[1], "b*")

    plt.text(data[0], data[1], user_name, bbox=dict(facecolor='red', alpha=0.2),)

plt.show()

结果：

从距离的角度来看，Fred、Ben、Tom的口味差不多；从余弦相似度角度看，Fred、Ben、Tom的口味还是差不多。

如何推荐

现在对于用户A，如何向其推荐物品呢？

方法1： 找出与用户A最相似的用户B，将B评分过的、评分较高、A没评分过的的若干物品推荐给A。

方法2： 找出用户A评分较高的若干物品，找出与这些物品相似的、且A没评分的若干物品推荐给A。

方法3： 找出用户A最感兴趣的k个主题，找出最符合这k个主题的、且A没评分的若干物品推荐给A。

方法4： 由NMF得到的两个矩阵，重建评分矩阵。例如：

#!/usr/bin/python2.7

# coding: UTF-8

import numpy as np

from sklearn.decomposition import NMF

import matplotlib.pyplot as plt

RATE_MATRIX = np.array(

    [[5, 5, 3, 0, 5, 5],

     [5, 0, 4, 0, 4, 4],

     [0, 3, 0, 5, 4, 5],

     [5, 4, 3, 3, 5, 5]]

)

RATE_MATRIX[1, 2] = 0  # 对评分矩阵略做修改

print '新评分矩阵：'

print RATE_MATRIX

nmf = NMF(n_components=2)

user_distribution = nmf.fit_transform(RATE_MATRIX)

item_distribution = nmf.components_

reconstruct_matrix = np.dot(user_distribution, item_distribution)

filter_matrix = RATE_MATRIX < 1e-6  # 小于0

print '重建矩阵，并过滤掉已经评分的物品：'

print reconstruct_matrix*filter_matrix

运行结果：

新评分矩阵：

[[5 5 3 0 5 5]

 [5 0 0 0 4 4]

 [0 3 0 5 4 5]

 [5 4 3 3 5 5]]

重建矩阵，并过滤掉已经评分的物品：

[[ 0.          0.          0.          0.80443133  0.          0.        ]

 [ 0.          2.19148602  1.73560797  0.          0.          0.        ]

 [ 0.02543568  0.          0.48692891  0.          0.          0.        ]

 [ 0.          0.          0.          0.          0.          0.        ]]

对于Tom（评分矩阵的第2行），其未评分过的物品是item 2、item 3、item 4。item 2的推荐值是2.19148602，item 3的推荐值是1.73560797，item 4的推荐值是0，若要推荐一个物品，推荐item 2。

如何处理有评分记录的新用户

NMF是将非负矩阵V分解为两个非负矩阵W和H：

V = W×H

在本文上面的实现中，V对应评分矩阵，W是用户的主题分布，H是物品的主题分布。

对于有评分记录的新用户，如何得到其主题分布？

方法1： 有评分记录的新用户的评分数据放入评分矩阵中，使用NMF处理新的评分矩阵。

方法2： 物品的主题分布矩阵H保持不变，将V更换为新用户的评分组成的行向量，求W即可。

下面尝试一下方法2。

设新用户Bob的评分记录为：

[5,5,0,0,0,5]

#!/usr/bin/python2.7

# coding: UTF-8

import numpy as np

from sklearn.decomposition import NMF

import matplotlib.pyplot as plt

RATE_MATRIX = np.array(

    [[5, 5, 3, 0, 5, 5],

     [5, 0, 4, 0, 4, 4],

     [0, 3, 0, 5, 4, 5],

     [5, 4, 3, 3, 5, 5]]

)

nmf = NMF(n_components=2)

user_distribution = nmf.fit_transform(RATE_MATRIX)

item_distribution = nmf.components_

bob = [5, 5, 0, 0, 0, 5]

print 'Bob的主题分布：'

print nmf.transform(bob)

运行结果是：

Bob的主题分布：

[[ 1.37800534  0.69236738]]

经典SVD

关于SVD的一篇好文章：强大的矩阵奇异值分解(SVD)及其应用。

相关分析与上面类似，这里就直接上代码了。

#!/usr/bin/python2.7

# coding: UTF-8

import numpy as np

from scipy.sparse.linalg import svds

from scipy import sparse

import matplotlib.pyplot as plt

def vector_to_diagonal(vector):

    """

    将向量放在对角矩阵的对角线上

    :param vector:

    :return:

    """

    if (isinstance(vector, np.ndarray) and vector.ndim == 1) or \

            isinstance(vector, list):

        length = len(vector)

        diag_matrix = np.zeros((length, length))

        np.fill_diagonal(diag_matrix, vector)

        return diag_matrix

    return None

RATE_MATRIX = np.array(

    [[5, 5, 3, 0, 5, 5],

     [5, 0, 4, 0, 4, 4],

     [0, 3, 0, 5, 4, 5],

     [5, 4, 3, 3, 5, 5]]

)

RATE_MATRIX = RATE_MATRIX.astype('float')

U, S, VT = svds(sparse.csr_matrix(RATE_MATRIX),  k=2, maxiter=200) # 2个隐主题

S = vector_to_diagonal(S)

print '用户的主题分布：'

print U

print '奇异值：'

print S

print '物品的主题分布：'

print VT

print '重建评分矩阵，并过滤掉已经评分的物品：'

print np.dot(np.dot(U, S), VT) * (RATE_MATRIX < 1e-6)

运行结果：

用户的主题分布：

[[-0.22279713  0.57098887]

 [-0.51723555  0.4274751 ]

 [ 0.82462029  0.38459931]

 [ 0.05319973  0.58593526]]

奇异值：

[[  6.39167145   0.        ]

 [  0.          17.71392084]]

物品的主题分布：

[[-0.53728743  0.24605053 -0.40329582  0.67004393  0.05969518  0.18870999]

 [ 0.44721867  0.35861531  0.29246336  0.20779151  0.50993331  0.53164501]]

重建评分矩阵，并过滤掉已经评分的物品：

[[ 0.          0.          0.          1.14752376  0.          0.        ]

 [ 0.          1.90208543  0.         -0.64171368  0.          0.        ]

 [ 0.21491237  0.         -0.13316888  0.          0.          0.        ]

 [ 0.          0.          0.          0.          0.          0.        ]]

可视化一下：

经典SVD + 协同过滤

0代表没有评分，但是上面的方法（如何推荐这一节的方法4）又确实把0看作了评分，所以最终得到的只是一个推荐值（而且总体都偏小），而无法当作预测的评分。在How do I use the SVD in collaborative filtering?有这方面的讨论。

SVD简要介绍

SVD的目标是将m*n大小的矩阵A分解为三个矩阵的乘积：

A=U∗S∗VTA=U∗S∗VT

U和V都是正交矩阵，大小分别是m*m、n*n。S是一个对角矩阵，大小是m*n，对角线存放着奇异值，从左上到右下依次减小，设奇异值的数量是r。

取k，k<<r。

取得UU的前k列得到UkUk，SS的前k个奇异值对应的方形矩阵得到SkSk，VTVT的前k行得到VTkVkT，于是有

Ak=Uk∗Sk∗VTkAk=Uk∗Sk∗VkT

AkAk可以认为是AA的近似。

下面的算法将协同过滤和SVD结合了起来。

Item-based Filtering Enhanced by SVD

这个算法来自下面这篇论文：

Vozalis M G, Margaritis K G. Applying SVD on Generalized Item-based Filtering[J]. IJCSA, 2006, 3(3): 27-51.

1、 设评分矩阵为R，大小为m*n，m个用户，n个物品。R中元素rijrij代表着用户uiui对物品ijij的评分。

2、 预处理R，消除掉其中未评分数据（即值为0）的评分。

• 计算R中每一行的平均值（平均值的计算中不包括值为0的评分），令Rfilled−in=RRfilled−in=R，然后将Rfilled−inRfilled−in中的0设置为该行的平均值。
• 计算R中每一列的平均值（平均值的计算中不包括值为0的评分）riri，Rfilled−inRfilled−in中的所有元素减去对应的riri，得到正规化的矩阵RnormRnorm。(norm，即normalized)。

3、 对RnormRnorm进行奇异值分解，得到： Rnorm=U∗S∗VTRnorm=U∗S∗VT

4、 设正整数k，取得UU的前k列得到UkUk，SS的前k个奇异值对应的方形矩阵得到SkSk，VTVT的前k行得到VTkVkT，于是有

Rred=Uk∗Sk∗VTkRred=Uk∗Sk∗VkT

red，即dimensionality reduction中的reduction。可以认为k是指最重要的k个主题。定义RredRred中元素rrijrrij用户i对物品j在矩阵RredRred中的值。

5、 Uk∗S12kUk∗Sk12，是用户相关的降维后的数据，其中的每行代表着对应用户在新特征空间下位置。S12k∗VTkSk12∗VkT，是物品相关的降维后的数据，其中的每列代表着对应物品在新特征空间下的位置。

S12k∗VTkSk12∗VkT中的元素mrijmrij代表物品j在新空间下维度i中的值，也可以认为是物品j属于主题i的程度。（共有k个主题）。

6、 获取物品之间相似度。

• 根据S12k∗VTkSk12∗VkT计算物品之间的相似度，例如使用余弦相似度计算物品j和f的相似度：

• 相似度计算出来后就可以得到每个物品最相似的若干物品了。

7、 使用下面的公式预测用户a对物品j的评分：这个公式里有些变量的使用和上面的冲突了（例如k）。 ll是指取物品j最相似的ll个物品。 mrijmrij代表物品j在新空间下维度i中的值，也可以认为是物品j属于主题i的程度。 simjksimjk是物品j和物品k的相似度。 RredRred中元素rrakrrak是用户a对物品k在矩阵RredRred中对应的评分。ra¯ra¯是指用户a在评分矩阵RR中评分的平均值（平均值的计算中不包括值为0的评分）。

参考

SVD Recommendation System in Ruby 这篇文章使用的数据来自该链接，里面处理新用户的方法表示没看懂。

How do I use the SVD in collaborative filtering?

Vozalis M G, Margaritis K G. Applying SVD on Generalized Item-based Filtering[J]. IJCSA, 2006, 3(3): 27-51.