异常检测，广泛用于欺诈检测（例如“此信用卡被盗？”）。 给定大量的数据点，我们有时可能想要找出哪些与平均值有显着差异。 例如，在制造中，我们可能想要检测缺陷或异常。 我们展示了如何使用高斯分布来建模数据集，以及如何将模型用于异常检测。
我们还将涵盖推荐系统，这些系统由亚马逊，Netflix和苹果等公司用于向其用户推荐产品。 推荐系统查看不同用户和不同产品之间的活动模式以产生这些建议。 在这些课程中，我们介绍推荐算法，如协同过滤算法和低秩矩阵分解。
Problem Motivation
上面是一个异常检测的例子。一个飞机发动机生厂商，需要检测新生产的发动机是否正常。使用的feature为产热，震动程度等，根据上面的可视化，我们可以很直观的看出异常检测的思想：那些远离主体分布的点，我们就把它们当作异常点来处理。所以在后面的讨论中，我们的主要目的就是如何来选择这个“主体区域”。
我们需要做一个关于观测数据分布的密度估计，建立一个概率模型，数据出现在数据集中心的概率很高，然后越向外扩张，概率就越小。所以，我们设置一个阈值sigma，当我们的测试数据的应用于模型的概率小于这个阈值时，我们就把它标记为 异常值。总的来说，异常检测有如下步骤：
1.设计用户活动的feature，这里可以是针对购物帐户，工厂产品等；
2.根据数据集建立概率模型P(x);
3.通过检测测试数据P(xtest)是否小于阈值Sigma，来判定它是否为异常点。
Gaussian distribution
有概率论基础的同学都知道高斯分布，又称为正太分布。均值mu，方差sigma^2.其概率曲线是一个“钟形”对称图形，其中mu是对称轴，sigma是数据分布的宽度。在此不再赘述。
其分布的基本特点是大部分数据都分布在以mu为中心的一段区域中，越向两边延伸概率越小。
Algorithm
假设每个feature都服从不同的高斯分布N(u1,a^2),N(u2,a^2),.....，我们要建立的概率模型就是使用概率的乘法规则,P(x) = P(x1)*p(x2)*....*p(xn)。
一定要注意，这里是认为feature都来自不同的高斯分布。
这里所讲的步骤和上面一样，主要解释了关于P(x)模型的建立，也就是求解参数mu，和sigma，上面画框部分就是计算公式。
下面是一个例子，我们建立起一个二维模型P(x) = p(x1)*p(x2)。
设置阈值为0.02，有两个测试数据，p(Xtest1) = 0.0426 >= 0.02，所以定义为正常点；而p(Xtest2) = 0.0021 < 0.02，标记为异常点。从上面高斯分布的二维图，可以看到，最高点就是(u1,u2)，越往下概率越小，当小于阈值时，就把它标记为异常点，思想极其简单。
Developing and evaluating an anomaly detection system
我们知道，如果可以用一个数值来评判一个算法的好坏，这个对于算法的选择是很大的帮助，那么我们如何来评价一个异常检测系统的好坏呢？
其实这个和监督性学习的评价标准类似。
假设我们有含标记的数据集，y=0表示正常，y=1表示异常。
同样的，我们也将数据集分为training Set，Cross Validation Set和Test set。不同的是，我们的training set只包含正常点，即y=0的点。
再来看看之前的例子。
有10000个正常样本，和20个异常样本，怎么来分配？
training set：只包含6000个正常样本(y=0) ->训练得到概率模型P(x);
CV:2000个正常样本，10个异常样本，用于模型判定和选择；
Test：4000正常样本，10个异常样本，用于测试。
这里我们依然使用F1-score来评价模型好坏，这个和之前的用法一样，忘记的同学可以查以前的笔记。根据CV测试的结果选择最好的模型。
Anomaly detection vs. supervised learning
上面讲到了很多异常检测和监督性学习的相似之处，下面我们来谈谈它们之间的区别。
总的来说有以下几点：
1.异常检测的y=1的样本极少（通常只有0-20），而有大量的y=0的样本；相对于监督学习，y=0和y=1的样本都较多；
2.异常检测的异常值通常有很多种类型，所以算法无法学习到它们的特征；而监督学习的样本特征是可以通过足够的样本学习到的；
3.需要检测的异常值在之前的训练中很可能是没有出现过的；而监督学习的测试样本却更可能是之前出现过的。
下面给出应用范围的比较：
Choosing what features to use
通过log，或者指数函数，将feature转化成较为明显的高斯分布，这种对称的“钟形”曲线。
这是我们设计模型的目标：使正常样本的概率偏大，使异常样本的概率偏小。
所以有时候我们需要根据实际情况自己设计合理的feature。
Mul-variate Gaussian distribution
如果按照之前我们讨论的高斯模型来看，我们的概率应该是按照左图中蓝色圈的方向递减的，那么图中的黄色点应该是概率比较高，但是图中数据趋势明显是沿45度展开的，按理说黄色点更应该是异常点，可是在我们之前的模型中却认为他们是正常的，所以我们下面将引入混合高斯模型来解决这个问题。
不再对每个feature单独建模，而是使用统一的模型，参数是n维向量u和n×n的协方差矩阵Sigma。下面是一些混合高斯模型的例子。
Anomaly detection using the mul-variate Gaussian distribution
上面是混合高斯模型的函数表示，和参数求解公式。
关于算法步骤，和之前的高斯分布类似，只是现在参数不同而已。使用混合高斯分布，便可以拟合出上面的分布，可以看出和标准的高斯分布的明显区别吧。
混合高斯模型和传统高斯模型的关系：当混合高斯模型的协方差矩阵为对角矩阵时，就是对应的传统高斯模型，而对角以外的参数，就控制着高斯分布的方向。
上面是传统高斯分布和混合高斯分布的对比，混合高斯分布有更高的计算复杂度，但是可以自己捕捉相关feature，使用时必须满足m > n，保证协方差矩阵Sigma为可逆矩阵。