机器学习算法与Python实践这个系列主要是参考《机器学习实战》这本书。因为自己想学习Python，然后也想对一些机器学习算法加深下了解，所以就想通过Python来实现几个比较常用的机器学习算法。恰好遇见这本同样定位的书籍，所以就参考这本书的过程来学习了。

机器学习中有两类的大问题，一个是分类，一个是聚类。分类是根据一些给定的已知类别标号的样本，训练某种学习机器，使它能够对未知类别的样本进行分类。这属于supervised learning（监督学习）。而聚类指事先并不知道任何样本的类别标号，希望通过某种算法来把一组未知类别的样本划分成若干类别，这在机器学习中被称作 unsupervised learning （无监督学习）。在本文中，我们关注其中一个比较简单的聚类算法：k-means算法。

一、k-means算法

通常，人们根据样本间的某种距离或者相似性来定义聚类，即把相似的（或距离近的）样本聚为同一类，而把不相似的（或距离远的）样本归在其他类。

我们以一个二维的例子来说明下聚类的目的。如下图左所示，假设我们的n个样本点分布在图中所示的二维空间。从数据点的大致形状可以看出它们大致聚为三个cluster，其中两个紧凑一些，剩下那个松散一些。我们的目的是为这些数据分组，以便能区分出属于不同的簇的数据，如果按照分组给它们标上不同的颜色，就是像下图右边的图那样：

如果人可以看到像上图那样的数据分布，就可以轻松进行聚类。但我们怎么教会计算机按照我们的思维去做同样的事情呢？这里就介绍个集简单和经典于一身的k-means算法。

k-means算法是一种很常见的聚类算法，它的基本思想是：通过迭代寻找k个聚类的一种划分方案，使得用这k个聚类的均值来代表相应各类样本时所得的总体误差最小。

k-means算法的基础是最小误差平方和准则。其代价函数是：

式中，μ_c(i)表示第i个聚类的均值。我们希望代价函数最小，直观的来说，各类内的样本越相似，其与该类均值间的误差平方越小，对所有类所得到的误差平方求和，即可验证分为k类时，各聚类是否是最优的。

上式的代价函数无法用解析的方法最小化，只能有迭代的方法。k-means算法是将样本聚类成 k个簇（cluster），其中k是用户给定的，其求解过程非常直观简单，具体算法描述如下：

1、随机选取 k个聚类质心点

2、重复下面过程直到收敛  {

对于每一个样例 i，计算其应该属于的类：

对于每一个类 j，重新计算该类的质心：

}

下图展示了对n个样本点进行K-means聚类的效果，这里k取2。

其伪代码如下：

********************************************************************

创建k个点作为初始的质心点（随机选择）

当任意一个点的簇分配结果发生改变时

对数据集中的每一个数据点

对每一个质心

计算质心与数据点的距离

将数据点分配到距离最近的簇

对每一个簇，计算簇中所有点的均值，并将均值作为质心

********************************************************************

二、Python实现

我使用的Python是2.7.5版本的。附加的库有Numpy和Matplotlib。具体的安装和配置见前面的博文。在代码中已经有了比较详细的注释了。不知道有没有错误的地方，如果有，还望大家指正（每次的运行结果都有可能不同）。里面我写了个可视化结果的函数，但只能在二维的数据上面使用。直接贴代码：

kmeans.py

#################################################

# kmeans: k-means cluster

# Author : zouxy

# Date   : 2013-12-25

# HomePage : http://blog.csdn.net/zouxy09

# Email  : zouxy09@qq.com

#################################################

from numpy import *

import time

import matplotlib.pyplot as plt

# calculate Euclidean distance

def euclDistance(vector1, vector2):

	return sqrt(sum(power(vector2 - vector1, 2)))

# init centroids with random samples

def initCentroids(dataSet, k):

	numSamples, dim = dataSet.shape

	centroids = zeros((k, dim))

	for i in range(k):

		index = int(random.uniform(0, numSamples))

		centroids[i, :] = dataSet[index, :]

	return centroids

# k-means cluster

def kmeans(dataSet, k):

	numSamples = dataSet.shape[0]

	# first column stores which cluster this sample belongs to,

	# second column stores the error between this sample and its centroid

	clusterAssment = mat(zeros((numSamples, 2)))

	clusterChanged = True

	## step 1: init centroids

	centroids = initCentroids(dataSet, k)

	while clusterChanged:

		clusterChanged = False

		## for each sample

		for i in xrange(numSamples):

			minDist  = 100000.0

			minIndex = 0

			## for each centroid

			## step 2: find the centroid who is closest

			for j in range(k):

				distance = euclDistance(centroids[j, :], dataSet[i, :])

				if distance < minDist:

					minDist  = distance

					minIndex = j

			## step 3: update its cluster

			if clusterAssment[i, 0] != minIndex:

				clusterChanged = True

				clusterAssment[i, :] = minIndex, minDist**2

		## step 4: update centroids

		for j in range(k):

			pointsInCluster = dataSet[nonzero(clusterAssment[:, 0].A == j)[0]]

			centroids[j, :] = mean(pointsInCluster, axis = 0)

	print 'Congratulations, cluster complete!'

	return centroids, clusterAssment

# show your cluster only available with 2-D data

def showCluster(dataSet, k, centroids, clusterAssment):

	numSamples, dim = dataSet.shape

	if dim != 2:

		print "Sorry! I can not draw because the dimension of your data is not 2!"

		return 1

	mark = ['or', 'ob', 'og', 'ok', '^r', '+r', 'sr', 'dr', '<r', 'pr']

	if k > len(mark):

		print "Sorry! Your k is too large! please contact Zouxy"

		return 1

	# draw all samples

	for i in xrange(numSamples):

		markIndex = int(clusterAssment[i, 0])

		plt.plot(dataSet[i, 0], dataSet[i, 1], mark[markIndex])

	mark = ['Dr', 'Db', 'Dg', 'Dk', '^b', '+b', 'sb', 'db', '<b', 'pb']

	# draw the centroids

	for i in range(k):

		plt.plot(centroids[i, 0], centroids[i, 1], mark[i], markersize = 12)

	plt.show()

三、测试结果

测试数据是二维的，共80个样本。有4个类。如下：

testSet.txt

1.658985	4.285136

-3.453687	3.424321

4.838138	-1.151539

-5.379713	-3.362104

0.972564	2.924086

-3.567919	1.531611

0.450614	-3.302219

-3.487105	-1.724432

2.668759	1.594842

-3.156485	3.191137

3.165506	-3.999838

-2.786837	-3.099354

4.208187	2.984927

-2.123337	2.943366

0.704199	-0.479481

-0.392370	-3.963704

2.831667	1.574018

-0.790153	3.343144

2.943496	-3.357075

-3.195883	-2.283926

2.336445	2.875106

-1.786345	2.554248

2.190101	-1.906020

-3.403367	-2.778288

1.778124	3.880832

-1.688346	2.230267

2.592976	-2.054368

-4.007257	-3.207066

2.257734	3.387564

-2.679011	0.785119

0.939512	-4.023563

-3.674424	-2.261084

2.046259	2.735279

-3.189470	1.780269

4.372646	-0.822248

-2.579316	-3.497576

1.889034	5.190400

-0.798747	2.185588

2.836520	-2.658556

-3.837877	-3.253815

2.096701	3.886007

-2.709034	2.923887

3.367037	-3.184789

-2.121479	-4.232586

2.329546	3.179764

-3.284816	3.273099

3.091414	-3.815232

-3.762093	-2.432191

3.542056	2.778832

-1.736822	4.241041

2.127073	-2.983680

-4.323818	-3.938116

3.792121	5.135768

-4.786473	3.358547

2.624081	-3.260715

-4.009299	-2.978115

2.493525	1.963710

-2.513661	2.642162

1.864375	-3.176309

-3.171184	-3.572452

2.894220	2.489128

-2.562539	2.884438

3.491078	-3.947487

-2.565729	-2.012114

3.332948	3.983102

-1.616805	3.573188

2.280615	-2.559444

-2.651229	-3.103198

2.321395	3.154987

-1.685703	2.939697

3.031012	-3.620252

-4.599622	-2.185829

4.196223	1.126677

-2.133863	3.093686

4.668892	-2.562705

-2.793241	-2.149706

2.884105	3.043438

-2.967647	2.848696

4.479332	-1.764772

-4.905566	-2.911070

测试代码：

test_kmeans.py

#################################################

# kmeans: k-means cluster

# Author : zouxy

# Date   : 2013-12-25

# HomePage : http://blog.csdn.net/zouxy09

# Email  : zouxy09@qq.com

#################################################

from numpy import *

import time

import matplotlib.pyplot as plt

## step 1: load data

print "step 1: load data..."

dataSet = []

fileIn = open('E:/Python/Machine Learning in Action/testSet.txt')

for line in fileIn.readlines():

	lineArr = line.strip().split('\t')

	dataSet.append([float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])

## step 2: clustering...

print "step 2: clustering..."

dataSet = mat(dataSet)

k = 4

centroids, clusterAssment = kmeans(dataSet, k)

## step 3: show the result

print "step 3: show the result..."

showCluster(dataSet, k, centroids, clusterAssment)

运行的前后结果是：

不同的类用不同的颜色来表示，其中的大菱形是对应类的均值质心点。

四、算法分析

k-means算法比较简单，但也有几个比较大的缺点：

（1）k值的选择是用户指定的，不同的k得到的结果会有挺大的不同，如下图所示，左边是k=3的结果，这个就太稀疏了，蓝色的那个簇其实是可以再划分成两个簇的。而右图是k=5的结果，可以看到红色菱形和蓝色菱形这两个簇应该是可以合并成一个簇的：

（2）对k个初始质心的选择比较敏感，容易陷入局部最小值。例如，我们上面的算法运行的时候，有可能会得到不同的结果，如下面这两种情况。K-means也是收敛了，只是收敛到了局部最小值：

（3）存在局限性，如下面这种非球状的数据分布就搞不定了：

（4）数据库比较大的时候，收敛会比较慢。

k-means老早就出现在江湖了。所以以上的这些不足也被世人的目光敏锐的捕捉到，并融入世人的智慧进行了某种程度上的改良。例如问题（1）对k的选择可以先用一些算法分析数据的分布，如重心和密度等，然后选择合适的k。而对问题（2），有人提出了另一个成为二分k均值（bisecting k-means）算法，它对初始的k个质心的选择就不太敏感，这个算法我们下一个博文再分析和实现。