几何建模与处理之三 参数曲线
在前两节中，学习了一元（单变量）函数\(f:R^1\to R^1\quad y=f(x)\)的数据拟合方法。接下下学习多元函数及多元函数的数据拟合。
多元函数
多元，即多变量，函数形式如下：
多元函数的基函数构造需要引入张量积的概念。
张量积
定义：多个一元基函数的乘积形式
优点：定义简单
不足：随着维数增加，基函数个数急剧增加，导致变量技据增加（求解系统规模急剧增加，求解代价大）
二元函数的基函数：即用两个一元函数的基函数的相互乘积来定义
例： 二次二元多项式函数\(z=f(x,y)\)的基函数\(\lbrace 1,x,y,x^2,xy,y^2\rbrace\)
张量积基函数：
多元函数的神经网络表达
用一个单变量函数\(\sigma(x)\)（激活函数）的不同仿射变换构造“基函数”：基函数数目可控
向量值函数
向量值，即多个应变量
单变量向量值函数：
看成多个单变量函数，各个函数独立无关
几何解释：
一个实数\(x\in R^1\)映射到\(m\)维空间\(R^m\)的一个点，轨迹构成\(R^m\)的一条“曲线”，本质维度为1
平面参数曲线
函数形式：
几何解释：
一条曲线由一个变量参数??决定，也称为单参数曲线，参数??可看成该曲线的“时间”变量，可灵活表达非函数型的曲线（任意曲线）。
空间参数曲线
函数形式：
几何解释：
一条曲线由一个变量参数??决定，也称为单参数曲线，参数 ??可看成该曲线的“时间”变量，可灵活表达非函数型的曲线（任意曲线）。
参数曲面
几何解释：
一张曲面由两个参数???, ???决定，也称为双参数曲面， 可灵活表达非函数型的任意曲面。
二维映射
几何解释：
二维区域之间的映射，可看成特殊的曲面（第三个维度始终为 0 ）
应用：图像变形
三维映射
几何解释：
三维体区域之间的映射
应用：体形变、体参数化
降维映射（低维映射）
降维映射一般有信息丢失，丢失的信息大部分情况下不可逆，即无法恢复
一般映射
如果\(n\lt m\)，为低维到高维的映射（高维的超曲面，n维流形曲面），本征维度为n。如果\(n\lt m\)，为降维映射，一般信息有损失， 如果\(R^n\)中的点集刚好位于一个?? 维（或小于?? ）的流形上，则映射可能是无损的，即可以被恢复的。
曲线拟合
曲线拟合问题
输入：给定平面上系列点\((x_i,y_i),i=1,2,\dots,n\)
输出：一条参数曲线，拟合这些点
问题：对数据点\((x_i,y_i)\)，对应哪个参数\(t_i\)?
误差度量：\(E=\sum_{i=1}^n \begin{Vmatrix} \begin{pmatrix}x(t_i)\\y(t_i)\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}x_i\\y_i\end{pmatrix}\end{Vmatrix}^2=\begin{Vmatrix} \mathbf p(t_i)-\mathbf p_i\end{Vmatrix}^2\) \(\mathbf p=\mathbf p(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}\)
参数化问题
求数据点所对应的参数：一个降维的问题！
点列的参数化方法
- Equidistant (uniform) parameterization 均匀参数化
\(t_{i+1}-t_i=const\)
\(e.g.t_i=i\)
Geometry of the data points is not considered
不考虑数据点的几何形状。
- Chordal parameterization 弦长参数化
\(t_{i+1}-t_i=\begin{Vmatrix} k_{i+1}-k_i\end{Vmatrix}\)
Parameter intervals proportional to the distances ofneighbored control points
参数间隔与相邻控制点的距离成正比
-
Centripetal parameterization 向心参数化
\(t_{i+1}-t_i=\sqrt{\begin{Vmatrix} k_{i+1}-k_i\end{Vmatrix}}\)
-
Foley parameterization Foley参数化
lnvolvement of angles in the control polygon
控制多边形中角的变化\(t_{t+1}-t_i=\begin{Vmatrix} k_{i+1}-k_i\end{Vmatrix}·(1+\frac32\frac{\hat a_i\begin{Vmatrix} k_{i}-k_{i-1}\end{Vmatrix}}{\begin{Vmatrix} k_{i}-k_{i-1}\end{Vmatrix}+\begin{Vmatrix} k_{i+1}-k_i\end{Vmatrix}}+\frac32\frac{\hat a_{i+1}\begin{Vmatrix} k_{i+1}-k_{i}\end{Vmatrix}}{\begin{Vmatrix} k_{i+1}-k_{i}\end{Vmatrix}+\begin{Vmatrix} k_{i+2}-k_{i+1}\end{Vmatrix}})\)
\(\hat a_i=\min(\pi-a_i,\frac\pi 2)\)
\(a_i=\angle(k_{i-1},k_i,k_{i+1})\)
曲面参数化
三维的点找二维的参数：一个降维的问题
后续再学习