彩色圆环：

题目大意：

一个环上有 \(n\) 个点，每个点随机染为 \(m\) 种颜色之一。求环上同色连续段长度之积的期望值。

思路：

破环为链，就有 \(f_{i,[0,1]}\) 表示到第 \(i\) 个数，环首尾是否同种颜色的期望值。则有：

\[\begin{aligned} f_{i,1}&=\sum_{j=0}^{i-1} \frac{p_{i-j}\cdot f_{j,0} \cdot (i - j)}{m}\\ f_{i,0}&=\sum_{j=0}^{i-1} p_{i-j}\cdot (i - j)\left(\frac{(m-2)f_{i,0}}{m} + \frac{(m-1)f_{i,1}}{m}\right) \end{aligned}\]

其中 \(p_i=m^{-i}\)，即连续 \(i\) 个相同颜色的概率。

代码：

const int N = 210;

inline ll Read()
{
	ll x = 0, f = 1;
	char c = getchar();
	while (c != '-' && (c < '0' || c > '9')) c = getchar();
	if (c == '-') f = -f, c = getchar();
	while (c >= '0' && c <= '9') x = (x << 3) + (x << 1) + c - '0', c = getchar();
	return x * f;
}

double f[N][2], p[N], ans, m;
int n; 

int main()
{
	n = Read(); scanf ("%lf", &m);
	p[1] = 1.0;
	m = 1.0 / m;
	for (int i = 2; i <= n; i++)
		p[i] = p[i - 1] * m;
	f[0][1] = 1.0;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 0; j < i; j++)
			f[i][1] += p[i - j] * (i - j) * f[j][0] * m,
			f[i][0] += p[i - j] * (i - j) * (f[j][0] * (1 - 2 * m) + f[j][1] * (1 - m));
	double ans = p[n] * n;
	for (int i = 1; i < n; i++)
		ans += 1.0 * i * i * f[n - i][0] * p[i];  //处理首尾不相接
	printf ("%.10lf\n", ans);
	return 0;
}