HDU6956 Pass! 常系数齐次线性递推
题意
\(n\)个人玩球，初始时\(1\)号发球，发球可以发给除了自己的任意一个人 问最后发到\(1\)号的方案数
分析
\(dp[n][0/1]\)表示经过\(n\)次发球后回到\(1\)号位/不回到\(1\)号位的方案数 其中\(N\)表示总人数
那么可以轻易列出转移方程
\[dp[n][0] = dp[n - 1][1]\dp[n][1] = dp[n - 1][0] \times(N - 1) + dp[n-1][1]\times(N-2)\\]
消去\(dp[n][1]\)
\[dp[n][0] = dp[n-2][0]\times(N-1)+dp[n-1][0]\times(N-2)
\]
于是可以抽象为
\[a_n - (N-2)a_{n-1} - (N-1)a_{n-2} = 0
\]
这类可以归纳为常系数齐次线性递推，对于小数据可以用特征方程来手算
以这题为例
\[x^2 - (N-2)x^1 - (N-1)x^0 = 0
\]
可以得到两个根\(x_1 = -1,x_2 = N - 1\)
得到\(h_n = c_1(-1)^n + c_2(N-1)^n\)
利用已知的两项\(a_0 = 1,a_1 = 0\)
列出条件方程
\[(n=0) \ c_1 + c_2 = 1\(n = 1) \ -c_1+c_2(N-1) = 0\\]
容易解得
\[c_1 = \frac{N-1}{N} ,c_2 = \frac{1}{N}
\]
于是有
\[h_n = \frac{N-1}{N}(-1)^n + \frac{1}{N}(N-1)^n
\]
代入题给的\(x\) 对\(n\)的奇偶分类讨论
1.\(n\)为奇数
\[(N-1)^n \equiv N(x+1)-1 (mod \ M)
\]
2.\(n\)为偶数
\[(N-1)^n \equiv N(x-1)+1(mod \ M)
\]
于是套用\(BSGS\)即可求解出\(n\)
代码
#include<bits/stdc++.h>
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
using namespace std;
typedef long long ll;
ll rd(){
ll x;
scanf("%lld",&x);
return x;
}
const int MOD = 998244353;
struct HashTable{
static const int N = (1 << 16),P = (1 << 16) - 1;
int las[P + 10],nxt[N],num[N],val[N],cnt;
inline int gethash(int x){
return (x ^ (x >> 16)) & P;
}
inline void hash(int x,int a){
int y = gethash(x);
++cnt;
num[cnt] = x;
val[cnt] = a;
nxt[cnt] = las[y];
las[y] = cnt;
}
inline int check(int x){
int y = gethash(x);
for(int i = las[y];i;i = nxt[i])
if(num[i] == x) return val[i];
return -1;
}
inline void clear(){
for(int i = 0;i <= cnt;i++)
num[i] = val[i] = nxt[i] = las[i] = 0;
memset(las,0,sizeof las);
cnt = 0;
}
}tb;
inline int BSGS(int a,int n){
if(n == 1) return 0;
tb.clear();
int i,x,y,z;
int m = ceil(sqrt(1.0 * MOD));
for(i = 0,x = 1;i < m;i++,x = (ll)a * x % MOD)
tb.hash((ll)x * n % MOD,i);
for(i = 1,y = x;i <= m;i++,y = (ll)y * x % MOD)
if(~(z = tb.check(y))) return i * m - z;
return -1;
}
int main(){
int T = rd();
while(T--){
int n = rd();
int x = rd();
int A1 = n - 1;
int A2 = n - 1;
int B1 = (ll)n * (x + 1) % MOD - 1;
int B2 = (ll)n * ((x - 1 + MOD) % MOD) % MOD + 1;
if(B1 < 0) B1 += MOD;
if(B2 >= MOD) B2 -= MOD;
int ans1 = BSGS(A1,B1);
if(~ans1 && ans1 % 2 == 0) ans1 = -1;
int ans2 = BSGS(A2,B2);
if(~ans2 && ans2 % 2 == 1) ans2 = -1;
if(ans1 == -1 && ans2 == -1) puts("-1");
else if(ans1 == -1) printf("%d\n",ans2);
else if(ans2 == -1) printf("%d\n",ans1);
else printf("%d\n",min(ans1,ans2));
}
}