HDU6956 Pass! 常系数齐次线性递推

题意

\(n\)个人玩球，初始时\(1\)号发球，发球可以发给除了自己的任意一个人 问最后发到\(1\)号的方案数

分析

\(dp[n][0/1]\)表示经过\(n\)次发球后回到\(1\)号位/不回到\(1\)号位的方案数 其中\(N\)表示总人数

那么可以轻易列出转移方程

\[dp[n][0] = dp[n - 1][1]\\ dp[n][1] = dp[n - 1][0] \times(N - 1) + dp[n-1][1]\times(N-2)\\ \]

消去\(dp[n][1]\)

\[dp[n][0] = dp[n-2][0]\times(N-1)+dp[n-1][0]\times(N-2) \]

于是可以抽象为

\[a_n - (N-2)a_{n-1} - (N-1)a_{n-2} = 0 \]

这类可以归纳为常系数齐次线性递推，对于小数据可以用特征方程来手算

以这题为例

\[x^2 - (N-2)x^1 - (N-1)x^0 = 0 \]

可以得到两个根\(x_1 = -1,x_2 = N - 1\)

得到\(h_n = c_1(-1)^n + c_2(N-1)^n\)

利用已知的两项\(a_0 = 1,a_1 = 0\)

列出条件方程

\[(n=0) \ c_1 + c_2 = 1\\ (n = 1) \ -c_1+c_2(N-1) = 0\\ \]

容易解得

\[c_1 = \frac{N-1}{N} ,c_2 = \frac{1}{N} \]

于是有

\[h_n = \frac{N-1}{N}(-1)^n + \frac{1}{N}(N-1)^n \]

代入题给的\(x\) 对\(n\)的奇偶分类讨论

1.\(n\)为奇数

\[(N-1)^n \equiv N(x+1)-1 (mod \ M) \]

2.\(n\)为偶数

\[(N-1)^n \equiv N(x-1)+1(mod \ M) \]

于是套用\(BSGS\)即可求解出\(n\)

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
using namespace std;
typedef long long ll;


ll rd(){
	ll x;
	scanf("%lld",&x);
	return x;
}

const int MOD = 998244353;

struct HashTable{
	static const int N = (1 << 16),P = (1 << 16) - 1;
	int las[P + 10],nxt[N],num[N],val[N],cnt;
	inline int gethash(int x){
		return (x ^ (x >> 16)) & P;
	}
	inline void hash(int x,int a){
		int y = gethash(x);
		++cnt;
		num[cnt] = x;
		val[cnt] = a;
		nxt[cnt] = las[y];
		las[y] = cnt;
	}
	inline int check(int x){
		int y = gethash(x);
		for(int i = las[y];i;i = nxt[i])
			if(num[i] == x) return val[i];
		return -1;
	}
	inline void clear(){
		for(int i = 0;i <= cnt;i++)
			num[i] = val[i] = nxt[i] = las[i] = 0;
		memset(las,0,sizeof las);
		cnt = 0;
	}
}tb;

inline int BSGS(int a,int n){
	if(n == 1) return 0;
	tb.clear();
	int i,x,y,z;
	int m = ceil(sqrt(1.0 * MOD));
	for(i = 0,x = 1;i < m;i++,x = (ll)a * x % MOD) 
		tb.hash((ll)x * n % MOD,i);
	for(i = 1,y = x;i <= m;i++,y = (ll)y * x % MOD)
		if(~(z = tb.check(y))) return i * m - z;
	return -1;
}

int main(){
	int T = rd();
	while(T--){
		int n = rd();
		int x = rd();
		int A1 = n - 1;
		int A2 = n - 1;
		int B1 = (ll)n * (x + 1) % MOD - 1;
		int B2 = (ll)n * ((x - 1 + MOD) % MOD) % MOD + 1;
		if(B1 < 0) B1 += MOD;
		if(B2 >= MOD) B2 -= MOD;
		int ans1 = BSGS(A1,B1);
		if(~ans1 && ans1 % 2 == 0) ans1 = -1;
		int ans2 = BSGS(A2,B2);
		if(~ans2 && ans2 % 2 == 1) ans2 = -1;
		if(ans1 == -1 && ans2 == -1) puts("-1");
		else if(ans1 == -1) printf("%d\n",ans2);
		else if(ans2 == -1) printf("%d\n",ans1);
		else printf("%d\n",min(ans1,ans2));
	}
}