数学分析原理(1): 确界原理应用(n次幂一一对应)

\(y^n=x\)

(偷自rudin的数学分析原理)

Theorem:

For every real \(x>0\) and every

integer \(n>0\) there is one and only one positive real \(y\) such that \(y^n=x\)

证明:

这里利用 \(\R\) 的上确界性质来证明。对于 \(x, n\) 构造

\[E = \{t>0~|~t^n<x\} \]

我们接下来证明 \(sup~E = y\)

总体思路是:首先证明 \(E\ne\empty\)\(E\) 有上界,于是根据 \(\R\) 存在上确界,可知 \(sup~E\) 存在,为了表述方便,记 \(sup~E=s\)
然后我们证明 \(s^n=x\),这里的证明方法是由 \(\R\) 的三歧性,根据假设 \(s^n>x\)\(s^n<x\) 推导出矛盾,于是 \(s^n=x\)\(s\) 即要求的 \(y\)

1. \(E\) is not empty

只需构造出一个 \(t\in E\)。首先观察 \(E\) 的条件是

  1. \(t^n<x\),当 \(t>1\) 时,\(t^n\)\(n\) 单增,这对构造不利
  2. \(n=1\) 则必有 \(t<x\),因此我们构造出的 \(t\) 至少要满足 \(t<x\)

我们猜想,若能构造出 \(t\) 满足 \(t <1\land t<x\),那么 \(t\in E\) 将总是成立,而事实上这样的 \(t\) 总是存在:

书上给出了一个很巧妙的构造 \(t = x/(1+x)\),这个显然是满足的。其实直接写一个:

\[t = \begin{cases} 1/2 & 1/2 < x \ x/2 & 0 < x \le 1/2 \end{cases} \]

应该也可以

2. \(E\) is upper-bounded

仍然是构造,只需给出一个 \(\alpha\) 使得 \(\forall t\in E, t \le \alpha\)

我们用此前学过的知识估计一下 \(t\) 的取值范围,以此倒推:\(0 < t < \sqrt[n]{x}\),因此我们也许只需要找到一个总是大于 \(\sqrt[n]{x}\) 的数。二分一下:

  1. \(x\le 1\) 那么 \(\sqrt[n]{x}\le 1\)
  2. \(x > 1\) 那么 \(\sqrt[n]{x} <x\)

所以和上面一个我们只需要找到一个 \(\alpha\) 总是满足 \(\alpha > 1 \land \alpha \ge x\),那么这个 \(\alpha\) 就一定是 \(E\) 的上界

书上给出的构造依旧很巧妙:\(\alpha = x+1\),我在这里也给出一个更简单粗暴的值:

\[\alpha = \begin{cases} 2 & 0 < x < 2 \\ 2x & x \ge 2 \end{cases} \]

至此,由确界原理得知 \(sup~E\) 存在。为了表述方便将其记为 \(s\)
显然 \(s>0\)

3. \(s^n < x\) leads to contradiction

书上给出的反证思路是找到一个 \(h>0\) 使得 \(s+h\in E\),因为 \(s\)\(E\) 上确界,故而矛盾:

choose \(h\) so that \(0<h<1\) and

\[h < \frac{x-s^n}{n(s+1)^{n-1}} \]

so that $$hn(s+1)^{n-1} < x - s^n$$
then we have

\[\begin{aligned} (s+h)^n - s^n &= h((s+h)^{n-1}+(s+h)^{n-2}s + .. + s^{n-1}) \ &< h((s+h)^{n-1}+(s+h)^{n-2}(s+h) + .. + (s+h)^{n-1}) \ &= hn(s+h)^{n-1} \ &< hn(s+1)^{n-1} \ &< x - s^n \end{aligned} \]

hence \((s+h)^n < x\), which means \((s+h) \in E\)

他这个放缩很迷,让我抓不住关键。

4. \(s^n > x\) leads to contradiction

跟上面一样,也是迷之就构造出了一个差值

put

\[k = \frac{s^n-x}{ns^{n-1}} > 0 \]

so

\[s - k = \frac{(n-1)s^n+x}{ns^{n-1}} > 0 \]

so

\[0 < k < s \]

if \(t\ge s-k\), we conclude that

\[\begin{aligned} s^n - t^n &\le s^n - (s-k)^n \ &< kns^{n-1} \ &= s^n - x \end{aligned} \]

that \(t^n > x\), it follows that \(s-k\) is an upper-bouned of \(E\), contradict

综上,\(sup~E\) 即为所求的 \(y\) 使 \(y^n = x\)
由于最小上界是唯一的,故得证

总结

好他妈迷啊,怎么会这样

是我不会放缩吗,让我来做肯定放缩不出来

是我看不清他反证法的界限在哪里吗,我找不到啊

...

数学的证明并不能找到确定性的方法,虽然我没去找证明,但大概肯定不可判定吧

要么个人经验,要么灵光一见。我还能干什么呢

绝望

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