1.重积分
设D是平面上的有界闭区域,z=f(x,y)是D上的有界函数,则称∬Df(x,y)dσ为二重积分.
二重积分的几何意义
代表着曲顶柱体的体积,底是区域D,顶为曲面z=f(x,y),侧面准线是D的边界,母线平行于z轴.
设Ω是空间有界闭区域,μ=f(x,y,z)是此区域上的有界函数,则称∭Ωf(x,y,z)dV为三重积分.
三重积分的物理意义
若μ为物体的密度,则积分代表着空间物体Ω的质量
1.1二重积分的计算
转化为累次积分计算.
直角坐标系
积分区域D由不等式
{ϕ1(x)≤y≤ϕ2(x)a≤x≤b
确定,二重积分适合化为先x后y的累次积分,即
∬Df(x,y)dσ=∫badx∫ϕ2(x)ϕ1(x)f(x,y)dy
极坐标
在极坐标(ρ,θ)中,通常将二重积分化为先ρ后θ的累次积分.
若极点O在区域D之外,则∬Df(x,y)dσ=∫βαdθ∫ρ2(θ)ρ1(θ)f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ
若极点O在D的内部,如极点为圆心,则∬Df(x,y)dσ=∫2π0dθ∫ρ(θ)0f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ