在进入正式话题之前需要引入三个概念：稳态误差、终值定理和系统稳定的充要条件。
  稳态误差：系统达到稳定状态后，系统的实际输出量与系统希望的输出量之间的偏差。
  终值定理：设有连续函数f(t)，当t趋于无穷时，f(t)的极限存在，则有

其中。F(s)是f(t)经过拉普拉斯变换后的函数，即

  系统稳定的充要条件：闭环传递函数的极点位于s的左半平面。对于某个系统的传递函数的极点为 p1 和 p2 ，它们都在实轴上,即 p1 = -a , p2 = -b (a 、b均为常数)，于是有

当 p1 < 0 , p2 < 0 时

  说明这个系统是收敛的，也就是说这个系统可以稳定。

当 p1 与 p2 有一个大于0 时

  说明这个系统是发散的，也就是说这个系统无法达到稳定。
当 p1 与 p2 并没有在实轴上，即 p1 = -a + bi , p2 = -a -bi ,此时有

在经过拉普拉斯逆变换，得

  正弦函数是等幅振荡函数，而 e^(-at) 会随 t 得增大而减小 ，最终趋向于0，故而 X(t) 是一个振荡衰减函数，最终仍会趋向于 0。图像大概是这个样子

如果 p1 = a + bi , p2 = a -bi ,此时有

  此时该函数时振荡发散的，是不稳定的，图像就是上图从右往左看。

比例控制

  对于如下比例控制系统，输入是R(s),输出是X(s)，

有

于是系统的闭环传递函数为

  由这个传递函数可知极点 p = ( -1 - Kp ) / a,我们知道，当 p 位于 s 的左半平面时系统才会稳定，也就是说 Kp > -1 时系统才会稳定。
  我们给系统一个输入一个目标值，即 r(t)=r, 于是

则

根据中值定理，有

那么稳态误差为

  由上式可知，Kp 趋向于无穷大时，ess 趋向于 0，但实际工程中，Kp 不可能取太大，否则超调量会非常大（一阶系统除外），如果超过了控制器的输出范围，那也就没有意义了，但是在控制器的输出范围内，Kp又不会太大，所以稳态误差还是消除不了，故而一般不单独使用比例控制。

举个实际的例子：
  对于系统：

  通过以上的推理，该系统在 Kp > -1 时才会稳定，那就在simulink中仿真一下，把输入设置为10，示波器中的黄线代表目标值，蓝线代表输出值：
Kp = - 2 时，系统结构如下

输出曲线如下

  由图可以看出，输出值已经跑飞了，系统不可能会稳定下来。
看看 Kp = 2 时的情况

  这时候系统已经稳定了，但是稳态误差很大。
再看看 Kp = 100 的情况

  此时稳态误差已经很小了，可以忽略不计了。但是此时的 Kp 已经非常大了，如果系统此时输出为 9 ，那么偏差就为 1 ，比例控制输出为 100，对于PWM调节的话，占空比最大就是100%，很明显这是不符合实际应用的。当然控制器的输出我们可以不当做占空比直接使用，比如在单片机的PWM的配置过程中，令计数值为1000才代表100%占空比，那么比例控制输出100，对应PWM占空比也才10%，看上去很合理，也符合实际应用，这样一来，系统的调节时间就会变长，同样我们也可以理解为此时 Kp 还较小。所以比例控制一般不单独使用。

积分控制

  上面我们研究了比例控制器，他不能消除稳态误差，所以需要设计新的控制器C(s)，系统结构框图如下：

求得系统传递函数

  我们同样令 r(t) = r ,拉普拉斯变换后， R(s) = r / s,于是有

  我们的目标是消除稳态误差，即 ess = 0

继续推导

  这个 C(s) 不就是积分嘛，Ki 就是积分增益。我们来验证一下，还是拿前面的系统

设置 Kp =2 , Ki = 1,看看比例控制与积分控制的效果

  黄色的直线表示目标值，蓝色的线是比例控制，橙色线是积分控制。由图可以看出，积分控制很明显的消除了稳态误差，但是积分控制的调节时间却比比例控制要长很多，那将比例控制与积分控制放在一起，同时作用，效果又是怎样的？

更改系统框图

  最上面一个闭环是比例控制，第二个是积分控制，最下面一个是比例积分控制，为方便对比我们稍稍做下参数调整，将比例积分控制的 Ki 增加到 2，看看效果

  这条绿色的线就是比例积分控制，其余三条不变。由图可知，比例积分控制不仅吸取了比例控制的快速响应并稳定特点，还吸取了积分控制能消除稳态误差的特点，所以比例积分控制的有点明显胜于比例控制。