先约定几个记号:
- 定义用一个冒号加等号表示“:=”，
- 表达式全等用两个等号表示“==”，
- 归约意义上的相等用一个等号表示“=”，“==”蕴涵“=”。
由于lambda演算不能定义符号，所以像这样的递归定义是不能被求值的：
f := (lambda () (f))
如何在lambda验算中实现递归？从最简单的递归函数开始。希望能带来一些启发。
寻找 \(\Omega\)
首先，我们的目标是找出一个无限循环的lambda表达式。另外额外要求这个表达式最短。
一个lambda表达式只可能有三种形式：
- 符号（x, y, z等等），
- 函数（如(lambda (x) x)），
- 应用（英文application，即函数调用，如调用函数func，参数x写作：(func x)）。
第1、2种形式又称为值（value），因为他们不能被归约了。一个无限循环的表达式只能是第3种形式：
(exp1 exp2)
考虑exp1。exp1是个函数，或者能被归约成函数的应用。如果exp1是应用，那么exp1要么会归约到一个函数，要么无限循环。如果exp1无限循环，就和我们的最短假设矛盾，所以exp1会归约到一个函数。如果exp1会归约到一个函数，那么和exp1是一个函数没什么区别。简单考虑，假设exp1是个函数：
exp1 := (lambda (x) body)
那么
(exp1 exp2)
== ((lambda (x) body) exp2)
= body[x <- exp2]
为了让表达式无限循环，我们希望：
(exp1 exp2) == body[x <- exp2]
所以body应该是个应用:
body := (subexp1 subexp2)
<=> (exp1 exp2) == (subexp1[x <- exp2] subexp2[x <- exp2])
<=> exp1 == subexp1[x <- exp2] and exp2 == subexp2[x <- exp2]
从最后一个条件可以推出：
exp2 == subexp2[x <- exp2] <=> subexp2 == x
另外还能看出，表达式exp1中包含了一个和exp2相等的子表达式。满足这个条件的最简单的exp1就是和exp2相等的exp1。
exp1 == exp2
<=> subexp1[x <- exp2] == exp2
<=> subexp1 == x
综合几个条件：
exp1
== (lambda (x) body)
== (lambda (x) (subexp1 subexp2))
== (lambda (x) (x x)) exp2
== exp1
== (lambda (x) (x x))
于是我们要找的无限循环的表达式是:
((lambda (x) (x x)) (lambda (x) (x x)))
这个表达式就是lambda演算里的\(\Omega\)表达式。\(\Omega\)表达式循环的关键在于(f f)形式的表达式，即自己应用到自己。\(\Omega\)包含了三个(f f)形式的表达式。
寻找 Y combinator
一般来说，递归函数长这个样子：
target := (lambda args body[target])
body[target]的意思是一个包含target这个符号的表达式，args表示这是一个任意个数参数的函数。在这个表达式中，target是一个无约束的符号。一个包含无约束符号的表达式不能被求值。Lambda演算中约束一个符号的方法是用lambda关键字，为了让target变成约束符号，我们改写表达式：
p := (lambda (target)
(lambda args body[target]))
= (lambda (f)
(lambda args body[f]))
为了避免混淆，上面将target改名成f（\(\alpha\)归约），target仍然表示我们想要的递归函数的表达式。target和p有如下关系：
(p target)
= (lambda args body[target])
= target
顺便一提，可以看出我们在寻找的target是p的一个不动点。
接下来考虑如何找target。记得寻找\(\Omega\)的启发吗？我们猜测target是一个(g g)形式的表达式：
target == (g g)
=>
(p target) = target
<=> (p (g g)) = (g g)
<=> (g g) = (p (g g)) = ((lambda (x) (p (x x))) g)
根据最后一个条件可以看出：
g := (lambda (x) (p (x x)))
=>
target == (g g)
== ((lambda (x) (p (x x)))
(lambda (x) (p (x x))))
把p提取到参数位置：
target =
((lambda (f)
((lambda (x) (f (x x)))
(lambda (x) (f (x x))))) p) Y :=
(lambda (f)
((lambda (x) (f (x x)))
(lambda (x) (f (x x))))) target = (Y p)
这个Y就是Y combinator。
用 Y combinator 推导出 \(\Omega\)
最简单的无限循环函数是：
f := (lambda () (f))
利用Y combinator来生成这个函数的lambda表达式看看会得到什么？
(Y (lambda (f) (lambda () (f))))
= ((lambda (x) ((lambda (f) (lambda () (f))) (x x)))
(lambda (x) ((lambda (f) (lambda () (f))) (x x))))
= ((lambda (x) (lambda () ((x x))))
(lambda (x) (lambda () ((x x)))))
呼，要对齐这么多括弧真不容易。注意到（\(\eta\)归约）：
(lambda () ((x x))) = (x x)
所以:
(Y (lambda (f) (lambda () (f))))
= ((lambda (x) (x x)) (lambda (x) (x x)))