递归。哦，递归。 递归在计算机科学中的重要性不言而喻。 递归就像女人，即令人烦恼，又无法抛弃。
先上个例子，这个例子里的函数double输入一个非负整数$n$，输出$2n$。 \[ {double} = \lambda n.({if} \; ({iszero} \; n) \; 0 \; (+ \; 2 \; ({double} \; (- \; n \; 1)))) \]
现在的问题是，这个递归函数在我们的语言里没法直接定义。 我说的直接定义是指像这个用let表达式： \[ ({let} \; {double} \; \lambda n.({if} \; ({iszero} \; n) \; 0 \; (+ \; 2 \; ({double} \; (- \; n \; 1)))) \; M) \] 把这个let表达式宏展开会看得更清楚些： \[ (\lambda {double}.M \; \lambda n.({if} \; ({iszero} \; n) \; 0 \; (+ \; 2 \; ({double} \; (- \; n \; 1))))) \] $\lambda n.({if} \; ({iszero} \; n) \; 0 \; (+ \; 2 \; ({double} \; (- \; n \; 1))))$ 里的double是个*变量。 解释器求值到这里的时候，根本不知道double指的是什么函数。
如何构造递归函数
获得递归的一个关键是如何在函数体中找到自己（结合一开始的比喻，这句话好像蕴含了其他意义深远的意思）。 一个简单的方法是在double上增加一个参数（一般就是第一个参数），把自己传入参数。 把这个修改后的函数叫做mkdouble1吧。 先不考虑mkdouble1的定义，先观察mkdouble1的行为。 因为调用mkdouble1要把自己作为第一个参数传入，所以调用递归函数应该这样写： \[ (({mkdouble1} \; {mkdouble1}) \; n) \] 也就是说，double就是$({mkdouble1} \; {mkdouble1})$。 \begin{eqnarray*} {double} &=& ({mkdouble1} \; {mkdouble1}) \\ &=& (\lambda v.(v \; v) \; {mkdouble1}) \end{eqnarray*} 最后一步变换是为了让mkdouble1只出现一次。
现在来考虑mkdouble1的定义。 在double上增加一个参数$f$： \[ {mkdouble1} = \lambda f.\lambda n.({if} \; ({iszero} \; n) \; 0 \; (+ \; 2 \; ({double} \; (- \; n \; 1)))) \] 函数调用的时候传入参数$f$的是mkdouble1。 也就是说$f$代表的是mkdouble1。 因此，函数体里递归调用的double用$(f \; f)$替换： \[ {mkdouble1} = \lambda f.\lambda n.({if} \; ({iszero} \; n) \; 0 \; (+ \; 2 \; ((f \; f) \; (- \; n \; 1)))) \] 所以double的定义是： \[ {double} = (\lambda v.(v \; v) \; \lambda f.\lambda n.({if} \; ({iszero} \; n) \; 0 \; (+ \; 2 \; ((f \; f) \; (- \; n \; 1))))) \] 这个定义可以用之前实现的解释器运行。 测试一下：
'(let double ((lambda v (v v))
(lambda f
(lambda n
(if (iszero n) 0 (+ 2 ((f f) (- n 1)))))))
(double 4)) >> 8
Y组合子
这一小节比较理论，知道个思路就行了。所以我就随便写写。 好学的人可以自己查资料（Programming Languages and Lambda Calculi, The Little Schemer）。
mkdouble1并不能让人很满意，因为它不优雅（都是时臣的错）。 mkdouble1递归调用的地方用的是$(f \; f)$，而比较好看比较符合直觉的应该只有一个$f$。 定义这个所谓的比较好看的函数mkdouble如下： \[ {mkdouble} = \lambda f.\lambda n.({if} \; ({iszero} \; n) \; 0 \; (+ \; 2 \; (f \; (- \; n \; 1)))) \] 我们希望能从mkdouble得到递归函数double。 这是能做到的。只要在利用mkdouble1的double定义上做几个简单的推导就行了： \begin{eqnarray*} {double} &=& (\lambda v.(v \; v) \; \lambda f.\lambda n.({if} \; ({iszero} \; n) \; 0 \; (+ \; 2 \; ((f \; f) \; (- \; n \; 1))))) \\ &=& (\lambda v.(v \; v) \; \lambda f.(\lambda f.\lambda n.({if} \; ({iszero} \; n) \; 0 \; (+ \; 2 \; (f \; (- \; n \; 1)))) \; (f \; f))) \\ &=& (\lambda x.(\lambda v.(v \; v) \; \lambda f.(x \; (f \; f))) \; \lambda f.\lambda n.({if} \; ({iszero} \; n) \; 0 \; (+ \; 2 \; (f \; (- \; n \; 1))))) \\ &=& (\lambda x.(\lambda v.(v \; v) \; \lambda f.(x \; (f \; f))) \; {mkdouble}) \end{eqnarray*}
$\lambda x.(\lambda v.(v \; v) \; \lambda f.(x \; (f \; f)))$被称作Y组合子，记为Y。 然后有： \[ {double} = ({Y} \; {mkdouble}) \]
Y组合子可以用来构造递归函数。 不过上面的定义在call-by-value的调用方式下会进入无限循环。 具体原因就不讲了，只讲结论：问题出在$(f \; f)$这里，对$(f \; f)$做一个$\eta$逆归约就行了。 修改后的Y组合子记为${Y}_{v}$： \[ {Y}_{v} = \lambda x.(\lambda v.(v \; v) \; \lambda f.(x \; (\lambda u.((f \; f) \; u)) \]
测试一下。 Call-by-value的测试：
'(let Y (lambda x
((lambda v (v v))
(lambda f (x (lambda u ((f f) u))))))
(let mkdouble (lambda f
(lambda n
(if (iszero n)
0
(+ 2 (f (- n 1))))))
((Y mkdouble) 4))) >> 8
Call-by-name的测试：
'(let Y (lambda x
((lambda v (v v))
(lambda f (x (f f)))))
(let mkdouble (lambda f
(lambda n
(if (iszero n)
0
(+ 2 (f (- n 1))))))
((Y mkdouble) 4))) >> 8