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感谢 @Mr_Spade 对我的帮助。

从 Dsu on tree 到点分治

Dsu on Tree 的主要思想是轻重链剖分，使每个点作为根时，都继承重儿子的信息并快速加入根的影响，并对每个轻儿子暴力向重儿子合并。由于每个点被合并 \(O(\log n)\) 次，复杂度是正确的。

这种问题也可以用点分治实现。对于无根树上的问题，对点分得到的若*分分别遍历，然后用和上面同样的数据结构维护查询和插入操作。

而对于有根树中“对每个子树求解”的问题则相对复杂。考虑有根点分治，记分治中心为 \(x\)，\(x\) 下方的子树为 \(x_1, x_2,\cdots, x_k\)，\(x\) 上方的祖先为 \(y_1,y_2,\cdots, y_p\)​，整个连通块的根为 \(r\)（不包含在 \(y\)​ 中）。考虑先计算子树 \(x\) 下方的答案，递归 \(x_{1\sim k}\)。合并和上面是一样的。然后对于每个 \(y_i\) 和 \(r\) 都分别递归，然后将其依次并入 \(x\)​ 子树的信息中。途中可以直接完成 \(x, y_{1\sim p}\) 答案的计算——仔细观察点分治的递归方式可以发现除了一些与 \(r\)​ 之间相连的部分不被当前连通块包含，其他都是完整的，可以准确得到答案。那么对于 \(r\) 我们保留合并得到的信息，接应之后可能的合并。

可以看到基本上 Dsu on tree 可以做的点分治也可以做，但实际上本质是差不多的。考虑你想要把 \(n\)​ 个一次多项式乘起来，你可以套用哈夫曼树的方法，维护一个优先队列，每次取两个小的相乘然后放回堆中；或者使用分治，先将 \(f_l\times f_{l+1}\times \cdots \times f_{mid}\)​ 以及 \(f_{mid+1}\times f_{mid+2}\times \cdots \times f_r\)​ 算好，再计算 \([l,r]\)​​ 全部相乘的结果。这分别对应着 Dsu on tree 和点分治，两者都是将 \(n\)​​ 个点合并，只是保证复杂度的方式不同。

一般而言做有根这种题都优选 Dsu on tree，因为效果几乎一样并且常数和代码都比较优秀。上面这段文字只是说明了：

Dsu on tree 能解决的问题为点分治的真子集

听起来是暴论但实际上几乎正确。考虑 Dsu on tree 的操作条件是：可以快速对重儿子加上根的影响；并且支持将轻儿子的内容高效动态插入。

然而一旦满足这些条件，点分治也可以操作。但你发现在这方面的问题点分治的做法都比较繁琐。这是因为点分治的擅长之处完全不在动态插入类问题。

点分治与静态计算

考虑这样一个问题：

给定两棵树 \(S,T\)，带边权且 不一定非负。求 \(\max\limits_{u,v}\ \textit{dist}_S(u,v)+\textit{dist}_T(u,v)\)。​

由于边权非负，合并点集并由原来两对最远点得到新的最远点的结论已不适用了。下面需要用到一个合并优化的技巧：

合并优化：对于当前分治中心连接的若*分 \(x_1, x_2, \cdots, x_k\)​​​，每次选取大小最小的合并并放回作为一个新的部分。这样可以证明效率能达到边分治一样的复杂度，具体证法可见 zzy 论文（？）。这个 trick 的功效在于，可以想边分治一样只用考虑两个不同的部分而不是多个，可以为解题扫清一些障碍。

对于两个在树 \(S\) 上的点集 \(V_1,V_2\)，我们建出 \(V_1\cup V_2\) 在 \(T\)​ 上的虚树。首先求出 \(S\) 中每个点到分治中心的距离作为在 \(T\) 虚树 \(T'\) 的点权。那么只要得到 \(T'\)​ 上距离加上两边点权的最大值即可。具体实现类似于树型 dp。可以发现这实际上实现了一个静态问题的求解过程：建虚树然后 dp。

那么如果强行转化为动态又将如何？设我们维护出 \(V\subseteq S\)，然后一个新的点 \(x\)​ 需要被计算贡献。那么唯一的办法是求出 \(T\) 上 \(V\) 中的点的点权加上与 \(x\) 距离的最大值，这本身就是极其复杂的问题。因此 Dsu on tree 直接怎么做是不太行的。

可以发现，点分治擅长统计可以静态计算的信息。动态维护往往会比前者更加困难，或者是被转化为一个“更强的问题”。那也不奇怪为什么 Dsu on tree 的适用范围更小了。

快速添加根的影响？

这是经常忽略的一个要点。考虑这样一个题：

\(n\) 个点的树，每个点 \(i\) 有一次多项式 \(x-a_i\)。求每个点到根结点 \(1\) 路径上多项式的乘积，输出它们求和后的结果。

这题有一个基于长链剖分链分治的做法，这里略去。

暴力做法是对子结点求和，并乘上自己，复杂度平方。考虑有根点分治（一下记号和上文一致）：对于分治中心 \(x\)​​，我们先递归计算 \(x_1, x_2, \cdots, x_k\)​，对它们的多项式求和记作 \(g\)，这里复杂度不超过 \(x\) 子树大小。然后递归 \(x\) 父亲方向的连通块，那么这时除了子树 \(x\) 都完成对 \(r\)​​ 贡献的统计了。

唯一的问题是 \(x\to r\) 的多项式 \(f\) 怎么算。比较无脑的有分治 FFT，这样总复杂度 \(O(n\log ^3 n)\)，可以利用之前递归子问题结果的技巧将其去掉一个 \(\log\)​，这个暂且不谈。

尝试使用 Dsu on tree？对于重儿子求出答案，乘上根直接作为根的答案，然后对所有轻儿子合并？不幸的是“乘上根”这个操作复杂度就和重子树相关了——多项式乘法没法像数据结构那样快速添加影响。实际上稍微冷静一下发现这玩意就是暴力。

更多的时候，这一点可能表现为”难以全局打 tag“之类的情况。

本质原因……

具体的，dsu on tree 的短板归纳为两点：

• 在静态计算简单但维护动态添加困难的时候，无法快速合并轻子树；
• 无法高效加入根的影响；

可以发现上面两点说明了一件事：dsu on tree 高度依赖动态添加的高效方法。

为什么会这样？注意到点分治之所以可以随意遍历整个连通块，是因为重心分解的分治结构做了保障。而 Dsu on tree 却必须靠规避重子树来保证复杂度。

例子

给定一颗树，带边权，求路径上边权平均值 \(\in [L,R]\) 的路径数。

首先记 \((c,s)\) 为一条边数为 \(c\) 总权值为 \(s\) 的路径。那么对于两条路径 \((c_1,s_1),(c_2,s_2)\)，由合法条件可以推出两个不等式：

\[s_1-c_1R\le -(s_2-c_2R) \\ s_1-c_1L\ge -(s_2-c_2L) \\ \]

这个式子一边都只与一条路径有关，抽象成两维坐标就是数点问题了。考虑点分治做法，如果是采用合并优化并静态统计的方法其实很容易，只是简单的扫描线和数据结构。这样总复杂度为 \(O(n\log^2 n)\)。

而另一种动态添加的思路就比较困难——天然的强制在线使得问题棘手了很多，我们似乎避不开高级数据结构，甚至可能还有更劣的复杂度。