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题意:给定整数 n n n ,求满足 1 ≤ b ≤ a ≤ n 1 \leq b \leq a \leq n 1≤b≤a≤n且 gcd ⁡ ( a , b ) = a ⊕ b \gcd(a,b)=a \oplus b gcd(a,b)=a⊕b的二元组 ( a , b ) (a,b) (a,b) 的数量.
因为当 a = b a=b a=b 时无解,所以下面默认 a > b a>b a>b.
这里我们有两个结论,下面依次给出并证明:
结论1 : gcd ⁡ ( a , b ) ≤ a − b \gcd(a,b)\leq a-b gcd(a,b)≤a−b
证明:令 gcd ⁡ ( a , b ) = k , a = m k , b = n k ( m ≥ n ) \gcd(a,b)=k,a=mk,b=nk(m \geq n) gcd(a,b)=k,a=mk,b=nk(m≥n),则有 a − b = ( m − n ) k ≥ k a-b=(m-n)k \geq k a−b=(m−n)k≥k 即 gcd ⁡ ( a , b ) ≤ a − b \gcd(a,b)\leq a-b gcd(a,b)≤a−b
结论2: a − b ≤ a ⊕ b a-b\leq a\oplus b a−b≤a⊕b
证明:由于异或本质为不进位加法,所以 a ⊕ b ≤ a + b a\oplus b \leq a+b a⊕b≤a+b,所以 a = a ⊕ b ⊕ b ≤ a ⊕ b + b a=a\oplus b\oplus b\leq a\oplus b +b a=a⊕b⊕b≤a⊕b+b,移项可得 a − b ≤ a ⊕ b a-b\leq a\oplus b a−b≤a⊕b.
再看这道题,要求 gcd ⁡ ( a , b ) = a ⊕ b \gcd(a,b)=a \oplus b gcd(a,b)=a⊕b,于是 gcd ⁡ ( a , b ) = a − b = a ⊕ b \gcd(a,b)=a-b=a \oplus b gcd(a,b)=a−b=a⊕b,可以现预处理出每一个 a − b a-b a−b.
code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int sum[30005000];
int t,n;
int main(){
	for(int k=1;k<=30000000;++k)//k即为a-b
		for(int x=2*k;x<=30000000;x+=k){//枚举a,枚举k的倍数是为了保证gcd(a,b)=a-b
			int y=x-k;
			if((x^y)==k)++sum[x];
		}
	for(int i=1;i<=30000000;++i)sum[i]+=sum[i-1];
	scanf("%d",&t);
	for(int i=1;i<=t;++i){
		scanf("%d",&n);
		printf("Case %d: %d\n",i,sum[n]);
	}
	return 0;
}//完结撒花owo