UVA.12716 GCD XOR (暴力枚举 数论GCD)

题意分析

题意比较简单，求[1,n]范围内的整数队a,b(a<=b)的个数,使得 gcd(a,b) = a XOR b.

前置技能

XOR的性质

GCD

由于题目只给出一个n，我们要求对数，能做的也始终暴力枚举a，b，这样就有n^2的复杂度，由于n很大，根本过不了。

于是我们就想用到其中一些性质，如XOR 与GCD，不妨假设 a xor b = c,并且根据题意还知道， gcd(a,b) = c，也就说明c一定是a的因子，所以在枚举的时候，可以转过头来枚举a和c.那么如何求出当前情况下的b呢，考虑到xor的性质，即 a xor b = c, a xor c = a xor a xor b = b. 通过异或运算就可以求解出来b，然后再检验gcd(a,b)是否为c即可。

到这里其实已经足够了，但是打出一定规模符合题意的(a,b,c)，不难发现，a-b=c，有了这条性质，就可以不用gcd检验了。换句话说，通过枚举a,c，b = a-c计算出b，通过a^b=c检验是否符合条件。因为相对而言，位运算比gcd快得多。

值得一提的是，由于n很大，连续处理多个n很大的值的时候，速度表现不能令人满意，最先想到的办法就是打表方法。

代码总览

#include <cstdio>

#include <algorithm>

#include <cstring>

#include <cmath>

#define nmax 30000010

#define ll long long

using namespace std;

int n;

int t;

int num[nmax];

void init(){

    for(int c = 1;c<=(nmax+1)/2;++c){

        for(int a = c+c;a<nmax;a+=c){

            int b = a-c;

            if((a^b) == c) num[a]++;

        }

    }

    for(int i = 2;i<nmax;++i)  num[i]+=num[i-1];

}

int main()

{

    int kase =1 ;

    init();

    scanf("%d",&t);

    for(kase  = 1; kase <=t;++kase){

        scanf("%d",&n);

        printf("Case %d: %d\n",kase,num[n]);

    }

    return 0;

}