试题题目：
本题答案：2430
解题思路：
- 第一次编写程序：
题目给出的 n n n数值为 16 16 16位数字， C C C语言中有类型 l o n g long long l o n g long long i n t int int，其范围为 − 9223372036854775808 -9223372036854775808 −9223372036854775808~ 9223372036854775807 9223372036854775807 9223372036854775807，为 19 19 19位数值完全可以存储 n n n；观察题目给出的例知：不需要进行去重处理。即虽因数相同，但所在位置不同，属于两种不同的方案。编写一个程序计算 n n n的所有因数，发现因数个数为 128 128 128个，可以简单地使用暴力的方法（三重循环），当符合 “ n = “n= “n=因数1 ∗ * ∗因数2 ∗ * ∗因数3 ” ” ”式子时，统计变量 s u m sum sum加一。代码如下：
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define n 2021041820210418
long long int inshu[1000];
int sum = 0;
int main(){
long long int geshu;
int i,j,z;
geshu = factor(n);
for(i=0;i<geshu;i++){
for(j=0;j<geshu;j++){
for(z=0;z<geshu;z++){
if(inshu[i] * inshu[j] *inshu[z] == n){
sum++;
//printf("%lld * %lld *%lld = %lld %lld \n",inshu[i],inshu[j],inshu[z],n,sum);//检测代码
}
}
}
}
printf("%d\n",sum);
return 0;
}
int factor(long long int N){ //寻找N的所有因数的函数；
long long int i,k;
k = 0;
for(i=1; i<=sqrt(N); i++){ //这里找寻找到了一半的因数
if(N%i == 0){
inshu[k++] = i;
}
}
if(sqrt(N) == inshu[k-1]){ i = k-1; } //当这个数是某个数的平方项时需要在因数中减去一个数，避免因数重复
else{ i = k; }
while(--i >= 0){ //把另一半的因数补齐
inshu[k++] = N / inshu[i];
}
return k;
}
- 第二次编写程序（第一次优化）：
暴力求解的方法，其时间复杂度为 O ( n 3 ) O(n^3) O(n3)，造成了时间上的消耗，对上一个算法进行优化，优化方法为：通过调用 f a c t o r ( ) factor() factor() 函数，找出n的所有因数，把 n n n拆分为 “ n = “n= “n=因数1 ∗ * ∗因数2 ∗ * ∗因数3 ” ” ”的式子；在对因数2调用 f a c t o r ( ) factor() factor()找出因数2的所有因数，把因数2拆分为 “ “ “因数2 = = =因数21 ∗ * ∗因数22 ” ” ” 的式子；把这两个式子合并，便可以得出 “ n = “n= “n=因数1 ∗ * ∗因数2 ∗ * ∗因数3 ” ” ””，统计式子的个数，便可以得出答案。代码：
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define n 2021041820210418
int sum = 0; //统计式子个数的变量
long long int *factor(long long int N,long long int inshu[1000]);
int main(){
long long int yinshu[1000] = {0}; //存储n的所有的因数；
int i,j;
factor(n,yinshu);
for(i=0; i<yinshu[999]; i++){
long long int zinshu[1000] = {0}; //存储所有因数的因数数组
factor(n/yinshu[i],zinshu);
for(j=0;j<zinshu[999]; j++){
sum++;
//printf("%lld * %lld * %lld = %lld %d \n",yinshu[i],zinshu[j],n/yinshu[i]/zinshu[j],n,sum); //检测代码
}
}
printf("%d\n",sum);
return 0;
}
long long int *factor(long long int N,long long int inshu[1000]){
long long int i,k;
k = 0;
for(i=1;i<=sqrt(N);i++){ //这里找寻找到了一半的因素
if(N%i == 0){
inshu[k++] = i;
}
}
if(sqrt(N) == inshu[k-1]){ i = k-1; } //当这个数是某个数的平方项时需要在因数中减去一个数
else{ i = k; }
while(--i >= 0){ //把另一半的因数补齐
inshu[k++] = N / inshu[i];
}
inshu[999] = k; //计算之前跑一下程序发现n因数不超过900个,可知k就是N的因子个数，并把它储存与inshu数组的最后一个值，目的为了传回到主函数中。
return inshu;
}
- 第三次编写程序（第二次优化）
通过深度分析，比较上述两个算法，可以对以上算法进一步简化。
优化过程：因不需要去重，假设 f 1 ∗ f 2 ∗ f 3 = n f1 * f2 * f3 = n f1∗f2∗f3=n ，根据这一个式子直接可以得出另外五个式子：“ f 1 ∗ f 3 ∗ f 2 = n f1 * f3 * f2 = n f1∗f3∗f2=n ”、“ f 2 ∗ f 1 ∗ f 3 = n f2 * f1 * f3 = n f2∗f1∗f3=n”、“ f 2 ∗ f 3 ∗ f 1 = n f2 * f3 * f1 = n f2∗f3∗f1=n”、“ f 3 ∗ f 1 ∗ f 2 = n f3 * f1 * f2 = n f3∗f1∗f2=n” 以及 “ f 3 ∗ f 2 ∗ f 1 = n f3 * f2 * f1 = n f3∗f2∗f1=n”。
注意：
(1)当 f 1 = f 2 = f 3 f1 =f2 = f3 f1=f2=f3时， f 1 ∗ f 2 ∗ f 3 = n f1 * f2 *f3 = n f1∗f2∗f3=n 只能算作一个式子；
(2)当 f 1 = f 2 f1 = f2 f1=f2 或者 f 1 = f 3 f1=f3 f1=f3 或者 f 2 = f 3 f2=f3 f2=f3时, f 1 ∗ f 2 ∗ f 3 = n f1 * f2 * f3 = n f1∗f2∗f3=n 改变位置后共得出三个式子；
(3)当 f 1 ≠ f 2 ≠ f 3 f1 \neq f2 \neq f3 f1=f2=f3时， f 1 ∗ f 2 ∗ f 3 = n f1 * f2 * f3 = n f1∗f2∗f3=n ,可以算作六个不同式子；
(4)为了避免重复计算，需要保证 f 1 ≤ f 2 ≤ f 3 f1 \le f2 \le f3 f1≤f2≤f3；
以上两个算法，都使用了函数和数组，求因数再储存因数，消耗大量的存储空间。而求因数的过程特别简单，就是拿这个数( n n n)除以小于它的数值( i i i)，如果能够被整除( n m o d i = 0 n \bmod i = 0 nmodi=0)，那么 i i i就是它的第一个因数， n / i n/i n/i就是它的第二个因数( j j j)。用一个循环即可实现，循环条件设置为( i ≤ s q r t ( n ) i \le sqrt(n) i≤sqrt(n))，保证了第一个因数小于第二个因数；再对第二个因数使用同样的循环，寻找出第二个因数的因数。第三个因数就是 n / i / j n/i/j n/i/j.
具体代码：
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define n 2021041820210418
int main(){
long long int i,j;
int sum = 0; //统计式子个数的变量
for(i=1;i<=sqrt(n);i++){
if(n%i == 0){ //i是n的第一个因数
for(j=i;j<=sqrt(n/i);j++){ //j从i开始循环,保证了i<=j
if(n/i%j == 0){ //j是n的第二个因数
if(i==j && j==n/i/j){sum++;}
else if(i==j || j==n/i/j || i==n/i/j){sum+=3;}
else {sum+=6;}
//printf("%lld %lld %lld %d \n",i,j,n/i/j,sum); //检测代码
}
}
}
}
printf("%d",sum);
}