原文链接 https://www.cnblogs.com/cly-none/p/9890837.html
题意：给出一棵大小为\(n\)的树，边有边权。\(m\)次询问，每次给出两个标号区间\([a,b]\)和\([c,d]\)，求\(\max {dis(i,j) \ | \ a \leq i \leq b, \, c \leq j \leq d }\)。
\(n,m \leq 10^5\)
本题主要是对直径性质的运用。
先考虑这样一个结论。
对于两个点集\(A\)和\(B\)，如果\(A\)的最远点对是\((a,b)\)，\(B\)的最远点对是\((c,d)\)，那么，点集\(A \bigcup B\)的最远点对的两个点一定是\(a,b,c,d\)中的两个。
至于证明，可以考虑直径的性质：到任何一个结点的最远点一定是两个直径端点中的一个。
注：一个点集的最远点对可以通过构建虚树转化为直径。
那么，考虑\(A\)中的一个结点，在\(B\)集合，到它最远的结点一定可以是\(c,d\)中的一个。否则，我们可以反证\((c,d)\)不是\(B\)中的最远点对。那么，在\(A \bigcup B\)中，任何一个结点，到它的最远点一定是\(a,b,c,d\)中的一个。因此，最远点对就一定是\(a,b,c,d\)中的两个。
于是，我们可以用线段树维护区间的最远点对。再根据我们的结论，\([c,d]\)中到\([a,b]\)的任意一点最远的结点一定是\([c,d]\)里最远点对中的一点，因此我们求出\([a,b]\)和\([c,d]\)各自的最远点对，就能求出答案了。
时间复杂度\(O(n \log n)\)。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define gc() getchar()
template <typename tp>
inline void read(tp& x) {
x = 0; char tmp; bool key = 0;
for (tmp = gc() ; !isdigit(tmp) ; tmp = gc())
key = (tmp == '-');
for ( ; isdigit(tmp) ; tmp = gc())
x = (x << 3) + (x << 1) + tmp - '0';
if (key) x = -x;
}
const int N = 100010, MP = 19;
struct edge {
int la,b,v;
} con[N << 1];
int tot,fir[N],n,m;
void add(int from,int to,int val) {
con[++tot] = (edge) {fir[from],to,val};
fir[from] = tot;
}
int dep[N],dfn[N << 1],dcnt,mn[N << 1][MP],ln[N << 1],rec[N],dis[N];
int lca(int x,int y) {
x = rec[x], y = rec[y];
if (x > y) swap(x,y);
int len = ln[y - x + 1];
return dep[dfn[mn[y][len]]] < dep[dfn[mn[x + (1 << len) - 1][len]]] ?
dfn[mn[y][len]] : dfn[mn[x + (1 << len) - 1][len]];
}
void dfs(int pos,int fa) {
dep[pos] = dep[fa] + 1;
dfn[rec[pos] = ++dcnt] = pos;
for (int i = fir[pos] ; i ; i = con[i].la) {
if (con[i].b == fa) continue;
dis[con[i].b] = dis[pos] + con[i].v;
dfs(con[i].b,pos);
dfn[++dcnt] = pos;
}
}
typedef pair<int,int> pii;
pii t[N << 2];
int ask(int x,int y) {
return dis[x] + dis[y] - 2 * dis[lca(x,y)];
}
void merge(pii& x,pii ls,pii rs) {
static int rec[4];
rec[0] = ls.first;
rec[1] = ls.second;
rec[2] = rs.first;
rec[3] = rs.second;
x = pii(-1,-1);
int cur = -1, tmp;
for (int i = 0 ; i < 4 ; ++ i)
for (int j = i+1 ; j < 4 ; ++ j) {
if (rec[i] == -1 || rec[j] == -1) continue;
tmp = ask(rec[i],rec[j]);
if (tmp > cur) x = pii(rec[i],rec[j]), cur = tmp;
}
}
void build(int x=1,int lp=1,int rp=n) {
if (lp == rp)
return (void) (t[x] = pii(lp,-1));
int mid = (lp + rp) >> 1;
build(x<<1,lp,mid);
build(x<<1|1,mid+1,rp);
merge(t[x],t[x<<1],t[x<<1|1]);
}
pii query(int l,int r,int x=1,int lp=1,int rp=n) {
if (l > rp || lp > r) return pii(-1,-1);
if (lp >= l && rp <= r)
return t[x];
int mid = (lp + rp) >> 1;
pii ret;
merge(ret,query(l,r,x<<1,lp,mid),query(l,r,x<<1|1,mid+1,rp));
return ret;
}
int main() {
int x,y,z,a,b,c,d;
read(n);
for (int i = 1 ; i < n ; ++ i) {
read(x), read(y), read(z);
add(x,y,z);
add(y,x,z);
}
dfs(1,0);
for (int i = 1 ; i <= dcnt ; ++ i) {
mn[i][0] = i;
for (int j = 1 ; (1 << j) <= i ; ++ j)
mn[i][j] = dep[dfn[mn[i][j-1]]] < dep[dfn[mn[i - (1 << j >> 1)][j-1]]] ?
mn[i][j-1] : mn[i - (1 << j >> 1)][j-1];
}
for (int i = 2 ; i <= dcnt ; i <<= 1)
++ ln[i];
for (int i = 2 ; i <= dcnt ; ++ i)
ln[i] += ln[i-1];
build();
read(m);
for (int i = 1 ; i <= m ; ++ i) {
read(a), read(b), read(c), read(d);
pii t1 = query(a,b);
pii t2 = query(c,d);
printf("%d\n",max(max(ask(t1.first,t2.first),ask(t1.first,t2.second)),max(ask(t1.second,t2.first),ask(t1.second,t2.second))));
}
return 0;
}
小结：直径这个东西的性质还是很丰富的。通过利用点集直径的可合并性，很容易套上一些数据结构。同时，两个点集间的最远点对可以转化为求各自的直径，这就使回答多个集合间的最远点对异常简洁。