\(\quad\quad\quad\quad *****以下为原文第7页内容*****\)
\(y=\frac{x(x^2+3D)}{3x^2+D}\)
\(我们得到\)
\(y-x=\frac{2x(D-x^2)}{3x^2+D}\)
\(并且\)
\(y^2-D=\frac{(x^2-D)^3}{(3x^2+D)^2}\)
\(此时，如果x属于A_{1},那么x^2<D,此时y>x,且y^2<D。则y属于A_{1}\)
\(如果假定x属于A_{2},则有x^2>D,y>0,y<x,且y^2>D。显然，y属于A_{2}\)
\(这个分割是有非有理数产生\)
\(\quad 这个现象，说明有理数域R是不完备的，或者是说不连续的\)
\(\quad 每一个这样的分割，都对应于一个非有理数,由此就产生了一个新数，即无理数\alpha\)
\(我们认为该数完全由该分割产生。我们应该说这个新数\alpha 对应于这个分割，或者说它制造了这个分割,\)
\(并且，从现在开始，只要两个分割不同，我们就说产生这两个分割的数不等。\)
\(\quad 为了获得全体实数，即有理数和无理数的有序排列的基础，我们必须研究分别由\alpha 和\beta 产生的两个分割\)
\((A_{1},A_{2})和(B_{1},B_{2})中间的关系。显然，当分割(A_{1},A_{2})中的一个，例如A_{1}给定之后，这个分割就完全确定了，\)
\(因为A_{2}就是有理数去掉A_{1}后剩下的全体有理数。分割中的第一个类，具有这样的特性，如果a_{1}是第一类的元素，那么所有小于a_{1}的\)
\(数，都包含在第一类中。如果此时，我们对两个分割中的第一类进行比较，会有如下结果\)
\(\quad 1. 他们完全相同。即，任何一个属于A_{1}的元素，也属于B_{1},且每一个属于B_{2}的元素，也同样属于A_{1}\)
\(此时，A_{2}与B_{2}也显然相同，此时我们用符号表示为\alpha = \beta,或\beta=\alpha\)
\(\quad 但是，如果A_{1}与B_{1}不同，例如，A_{1}中的元素a_{1},没有包含在B_{1}中，因此被包含在B_{2}中，\)
\(这样B_{1}中的元素数量自然小于A_{1}中的数量\)
\(2.如果A_{1}中只有一个数a_{1}'是B_{1}所没有的，那么A_{1}中其他数字a_{1}也同样被包含在B_{1}中，且有a_{1}小于a_{1}',\)
\(即，a_{1}'是所有A_{1}元素中的最大的一个，因此，a_{1}',{A_{1},A_{2}}由\alpha=a_{1}'=b_{2}'产生。再看{B_{1},B{2}}.\)
\(我们已经知道B_{1}中的所有数b_{1}也都包含在a_{1}中，且小于a_{1}'=b_{2}',b_{2}'属于B_{2};B_{2}中的其他元素b_{2}均大于\)
\(b_{2}',否则，如果b_{2}小于b_{2}'，那么就会小于a_{1}'，就会属于B_{1}；因此，b_{2}'是B_{2}中的最小数，因此(B_{1},B_{2})\)
\(由b_{2}’由同样的有理数\beta=b_{2}'=a_{1}'=\alpha 产生,两者的区别是非本质的\)
\(\quad 3.如果在A_{1}中至少有两个数a_{1}'=b_{2}',a_{1}''=b_{2}'',不在B_{1}中，那么就有无数个这样的数存在。因为在这两数之间\)
\(的无穷多的数，都在A_{1}中，却都不在B_{1}中。这种情况下，我们说对应于两个本质上不同的分割(A_{1},{2})与(B_{1},B_{2})的两个数\)
\(\alpha 和\beta 是不同的，或者更进一步，我们说\alpha>\beta，以及\beta<\alpha,需要注意的是，这个定义与前面当\alpha和\beta\)
\(都是有理数时的定义完全一致。\)
\(\quad 剩下的情况如下\)
\(\quad 4.如果在B_{1}中存在一个且只有一个b_{1}'=a_{1}'，不属于A_{1},那么(A_{1},A_{2})与(B_{1},B_{2})仅仅是非本质性区别，\)
\(并且都是由同一个有理数\alpha=a_{2}'=b_{1}'=\beta产生\)
\(\quad\quad 5. 但是，如果B_{1}中至少有两个数是A_{1}中没有的，那么\beta>\alpha,或\alpha<\beta\)
\(\quad 上述讨论遍历了全部情况，可知，对于两个不同的数，只有其中一个大于另一个的情况.这一点在指定\alpha和\beta的大小关系时用到过，但是直到现在才给予了证明。在进行上述研究时，必须加倍小心，以防把其他领域的经验，照搬到研究对象中。\)