矢量叉乘，向量外积
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矢量叉乘，向量外积
1. 矢量叉乘定义
定义两个向量
a
\mathbf{a}
a和
b
\mathbf{b}
b，他们的叉乘可以写为
a
×
b
\mathbf{a}\times\mathbf{b}
a×b
本质上向量叉乘为向量旋转，满足右手螺旋准则；
叉乘结果是一个向量，向量模长是向量A，B组成平行四边形的面积；向量方向是垂直于向量A,B组成的平面；也叫向量积
与点乘不同之处是：点乘结果是一个数，表示两个向量的投影关系，也叫数量积
a ⋅ b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos θ \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ
2. 模长
∣
c
∣
=
∣
a
×
b
∣
=
∣
a
∣
∣
b
∣
sin
θ
|\mathbf{c}|=|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta
∣c∣=∣a×b∣=∣a∣∣b∣sinθ
∣
c
∣
|\mathbf{c}|
∣c∣长度在数值上等于以
a
\mathbf{a}
a，
b
\mathbf{b}
b，夹角为θ组成的平行四边形的面积。
而c的方向垂直于
a
\mathbf{a}
a与
b
\mathbf{b}
b所决定的平面，
c
\mathbf{c}
c的指向按右手定则从a转向b来确定。
3. 方向
a
\mathbf{a}
a向量与
b
\mathbf{b}
b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手定则。（一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从
a
\mathbf{a}
a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是
c
\mathbf{c}
c的方向。）
4. 坐标运算
向量
a
\mathbf{a}
a的坐标表示
a
=
(
a
x
,
a
y
,
a
z
)
\mathbf{a}=(a_x, a_y, a_z)
a=(ax,ay,az)
向量
a
\mathbf{a}
a的坐标轴矢量表示
a
=
a
x
i
+
a
y
j
+
a
z
k
\mathbf{a}=a_xi+a_yj+ a_zk
a=axi+ayj+azk
其中矢量的x轴、y轴、z轴的单位矢量i、j、k、满足以下关系
i
×
j
=
k
=
−
j
×
i
j
×
k
=
i
=
−
k
×
j
k
×
i
=
j
=
−
i
×
k
i
×
i
=
j
×
j
=
k
×
k
=
0
i\times j=k=-j\times i\\j\times k=i=-k\times j\\k\times i=j=-i\times k\\ i\times i=j\times j=k\times k=0
i×j=k=−j×ij×k=i=−k×jk×i=j=−i×ki×i=j×j=k×k=0
其中的0为零矢量。
附加点乘的运算规则
i
⋅
j
=
k
=
−
j
×
i
j
⋅
k
=
i
=
−
k
⋅
j
k
⋅
i
=
j
=
−
i
⋅
k
i
⋅
i
=
j
⋅
j
=
k
⋅
k
=
1
i\cdot j=k=-j\times i\\j\cdot k=i=-k\cdot j\\k\cdot i=j=-i\cdot k\\ i\cdot i=j\cdot j=k\cdot k=1
i⋅j=k=−j×ij⋅k=i=−k⋅jk⋅i=j=−i⋅ki⋅i=j⋅j=k⋅k=1
a × b = ∣ i j k a x a y a z b x b y b z ∣ = ∣ a y a z b y b z ∣ i − ∣ a x a z b x b z ∣ j + ∣ a x a y b x b y ∣ k = ( a y b z − a z b y ) i + ( a z b x − a x b z ) j + ( a x b y − a y b x ) k \begin{aligned} \mathbf{a}\times\mathbf{b}&=\begin{vmatrix} i&j&k\\ a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix}a_y&a_z\\b_y&b_z\end{vmatrix}i -\begin{vmatrix}a_x&a_z\\b_x&b_z\end{vmatrix}j + \begin{vmatrix}a_x&a_y\\b_x&b_y\end{vmatrix}k \\ &=(a_yb_z-a_zb_y)i + (a_zb_x-a_xb_z)j + (a_xb_y-a_yb_x)k \end{aligned} a×b=∣∣∣∣∣∣iaxbxjaybykazbz∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣aybyazbz∣∣∣∣i−∣∣∣∣axbxazbz∣∣∣∣j+∣∣∣∣axbxayby∣∣∣∣k=(aybz−azby)i+(azbx−axbz)j+(axby−aybx)k
6. 叉乘矩阵（斜对称矩阵）
每一个矢量都一个对应的斜对称矩阵，
a
\mathbf{a}
a
[
a
×
]
=
[
0
−
a
y
a
z
a
y
0
−
a
x
−
a
z
a
x
0
]
[\mathbf{a}\times]=\begin{bmatrix}0&-a_y&a_z\\a_y&0&-a_x\\ -a_z &a_x &0\end{bmatrix}
[a×]=⎣⎡0ay−az−ay0axaz−ax0⎦⎤
则两个矢量的叉乘可以写为
a
×
b
=
[
a
×
]
b
=
[
0
−
a
y
a
z
a
y
0
−
a
x
−
a
z
a
x
0
]
[
b
x
b
y
b
z
]
\begin{aligned} \mathbf{a}\times\mathbf{b}&=[\mathbf{a}\times]\mathbf{b}\\ &=\begin{bmatrix}0&-a_y&a_z\\a_y&0&-a_x\\ -a_z &a_x &0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_x\\b_y\\ b_z\end{bmatrix} \end{aligned}
a×b=[a×]b=⎣⎡0ay−az−ay0axaz−ax0⎦⎤⎣⎡bxbybz⎦⎤
性质：（
A
=
[
a
×
]
A=[\mathbf{a}\times]
A=[a×]）
1-
A
T
=
−
A
A^T=-A
AT=−A
2-
A
A
A，
B
B
B为斜对称矩阵，则
A
+
B
A+B
A+B为斜对称矩阵
3-
k
k
k为偶数，
A
k
A^k
Ak为对称矩阵；
k
k
k为奇数，
A
k
A^k
Ak为斜对称矩阵；
6. 叉乘运算规则
1、交换律： a × b = − b × a a\times b=-b\times a a×b=−b×a
2、分配律： a × （ b + c ) = a × b + a × c a\times （b+c)=a\times b +a\times c a×（b+c)=a×b+a×c
3、与标量r相乘： r a × b = r ( a × b ) ra\times b=r(a\times b ) ra×b=r(a×b)
4、不满足结合律，但满足雅可比恒等式：： a × （ b × c ） + b × （ c × a ） + c × （ a × b ） = 0 a×（b×c）+b×（c×a）+c×（a×b）=0 a×（b×c）+b×（c×a）+c×（a×b）=0。
5 、 两个非零向量a和b平行，当且仅当 a × b = 0 a×b=0 a×b=0。
6、 拉格朗日公式
（ a × b ） × c = b （ a ⋅ c ） − a （ b ⋅ c ） （a×b）×c=b（a·c）-a（b·c） （a×b）×c=b（a⋅c）−a（b⋅c）
a × （ b × c ） = b （ a ⋅ c ） − c （ a ⋅ b ） a×（b×c）=b（a·c）-c（a·b） a×（b×c）=b（a⋅c）−c（a⋅b）
证明如下图
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