1. Vector （向量 / 矢量）

1.1 基础回顾

• 向量表示方式为 \(\vec{a}\) 或者 \(\boldsymbol{a}\)
• 向量长度 \(\|\vec{a}\|\)
• 单位向量表示方式为：\(\hat{a}=\vec{a} /\|\vec{a}\|\)
• 向量表示采用笛卡尔坐标(Cartesian Coordinates)，例如

\(\mathbf{A}=\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) \quad \mathbf{A}^{T}=(x, y) \quad\|\mathbf{A}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)

注意，一般默认向量为列向量。

1.2 向量相乘

1.2.1 点乘

• 定义：

\(\vec{a} \cdot \vec{b}=\|\vec{a}\|\|\vec{b}\| \cos \theta\)
\(\cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}\)

• 性质

\(\vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{b} \cdot \vec{a}\)
\(\vec{a} \cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{a} \cdot \vec{c}\)
\((k \vec{a}) \cdot \vec{b}=\vec{a} \cdot(k \vec{b})=k(\vec{a} \cdot \vec{b})\)

• 计算示例

\(\vec{a} \cdot \vec{b}=\left(\begin{array}{l}x_{a} \\ y_{a}\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}x_{b} \\ y_{b}\end{array}\right)=x_{a} x_{b}+y_{a} y_{b}\)

• 用途

1） 计算投影

2） 判断两个向量是否同向

点乘结果>0就表示基本同向，=1表示方向完全一致。

1.2.2 叉乘

• 定义

\(a \times b=-b \times a\)
\(\|a \times b\|=\|a\|\|b\| \sin \phi\)

使用右手法则。

叉乘不满足交换律。

• 用途

1）生成坐标轴
\(\vec{x} \times \vec{y}=+\vec{z}\)
\(\vec{y} \times \vec{x}=-\vec{z}\)
\(\vec{y} \times \vec{z}=+\vec{x}\)
\(\vec{z} \times \vec{y}=-\vec{x}\)
\(\vec{z} \times \vec{x}=+\vec{y}\)
\(\vec{x} \times \vec{z}=-\vec{y}\)

2）判定左 / 右 或者 内 / 外

比如一直坐标系由XYZ组成，然后现在想判断向量b是在a的左边还是右边，之需要求出\(\vec{x} \times \vec{y}\)可以知道与\(\vec{z}\)同向，所以b在a左边。

\(\vec{AP}\)始终在三条有向边\(\vec{AB},\vec{BC},\vec{CA}\)的同一侧(左侧)，所以p点在三角形内侧。

注意：三角形三条边的向量必须首尾相连，所以如果我们把下面三角形的三条边向量换一个方向，但是因为最后可以算出AP都在三条边的右侧，即同一侧，所以P点在三角形内侧。

2. Matrix (矩阵)

矩阵在图形学里常用于表示变换(Transformations),比如 translation,rotation,shear,scale等。

矩阵相乘运算

\(\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 5 & 2 \\ 0 & 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{llll}3 & 6 & 9 & 4 \\ 2 & 7 & 8 & 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}9 & ? & 33 & 13 \\ 19 & 44 & 61 & 26 \\ 8 & 28 & 32 & ?\end{array}\right)\)

以右边那个8为例，可以看到它是第三行第一列，所以直接找到左边矩阵的第三行，即 \([0\,\,4]\)，和右边矩阵第一列 \([3\,\,2]^T\),然后做点积即可求得为8.

• 性质

• \((\mathrm{AB}) \mathrm{C}=\mathrm{A}(\mathrm{BC})\)

• \(A(B+C)=A B+A C\)

• \((\mathrm{A}+\mathrm{B}) \mathrm{C}=\mathrm{AC}+\mathrm{BC}\)

• 矩阵转置：\((A B)^{T}=B^{T} A^{T}\)

• 对角矩阵：只有对角线上有非零元素

• 单位矩阵：对角线上全为1的对角矩阵

• 矩阵的逆：

  • \(A A^{-1}=A^{-1} A=I\)
  • \((A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1}\)

矩阵乘法转化成矩阵形式

• 点积

\[\begin{aligned} & \vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{a}^{T} \vec{b} \\=\left(\begin{array}{lll}x_{a} & y_{a} & z_{a}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_{b} \\ y_{b} \\ z_{b}\end{array}\right)=\left(x_{a} x_{b}+y_{a} y_{b}+z_{a} z_{b}\right) \end{aligned} \]

• 叉乘

\(\vec{a} \times \vec{b}=A^{*} b=\left(\begin{array}{ccc}0 & -z_{a} & y_{a} \\ z_{a} & 0 & -x_{a} \\ -y_{a} & x_{a} & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_{b} \\ y_{b} \\ z_{b}\end{array}\right)\)

注意 ： A*b的*不表示乘法

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2020-04-24 23:32:12