D. Divide
题目给定\(l_1,r_1,l_2,r_2\)，问我们\(\prod\limits_{i=l_1}^{r_1}i\)是否是\(\prod\limits_{i=l_2}^{r_2}i\)的因子。一个直接的想法就是将两个部分的乘积算出来，最后判断是否是因子即可。但是本题的数据范围很大，使用普通的数据类型存不下来，除非使用高精度，但是这样的时间复杂度就太高了，因此我们需要考虑如何快速求解。
我们知道\(\prod\limits_{i=l_1}^{r_1}i=l_1\cdot(l_1+1)\cdots(r_1)\),\(\prod\limits_{i=l_2}^{r_2}i=l_2\cdot(l_2+1)\cdots(r_2)\)，两个式子相除，我们可以得到一个等式即\(l_2\cdot(l_2+1)\cdots(r_2)/l_1\cdot(l_1+1)\cdots(r_1)=r_2!\cdot(l_1-1)!/r1!\cdot(l2-1)!\)。我们知道对于每一个数，都有自己的质因数分解，因此要想判断一个数是否是另一个数的因子，只需要判断两个数相同质因数的个数(即幂的大小)是否被除数大于等于除数，如果满足条件，我们就说被除数能够被该除数整除，反之，不行。
但是现在我们的除数和被除数均为阶乘的形式，如果我们对每个数都进行质因数的分解，是无法在时限内通过本题。所以我们需要知道阶乘的因子分解。
对于任何给定的素数\(p\)，我们希望能够确定能整除\(n!\)的\(p\)的最大幂，也就是知道\(n!\)中每个数中对\(p\)这个质因数的贡献，即求\(p\)在\(n!\)的唯一分解式中的指数。数学公式如下(来自《Concrete Mathematics》第四章数论部分)：
从而我们就可以写出计算某个素数在阶乘中的贡献了
“计算贡献”
int cal(int num, int p)
{
if (num == 0)
return 0;
return cal(num / p, p) + num / p;
}
参考代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e7;
vector<int> prime;
bool is_prime[N + 1];
void sieve()
{
for (int i = 2; i <= N; i++)
{
if (!is_prime[i])
prime.push_back(i);
for (int j = 0; prime[j] <= N / i; j++)
{
is_prime[prime[j] * i] = true;
if (i % prime[j] == 0)
break;
}
}
}
int cal(int num, int p)
{
if (num == 0)
return 0;
return cal(num / p, p) + num / p;
}
int main()
{
sieve();
int t;
cin >> t;
while (t--)
{
int l1, r1, l2, r2;
cin >> l1 >> r1 >> l2 >> r2;
bool ok = true;
for (int i = 0; i < (int)prime.size(); i++)
{
int p = prime[i];
int fac1 = cal(r2, p) + cal(l1 - 1, p);
int fac2 = cal(l2 - 1, p) + cal(r1, p);
if (fac1 < fac2)
{
ok = false;
break;
}
}
if (ok)
puts("Yes");
else
puts("No");
}
return 0;
}