2021年“图森未来杯”全国程序设计邀请赛(校外组)D题题解

D. Divide

  题目给定\(l_1,r_1,l_2,r_2\),问我们\(\prod\limits_{i=l_1}^{r_1}i\)是否是\(\prod\limits_{i=l_2}^{r_2}i\)的因子。一个直接的想法就是将两个部分的乘积算出来,最后判断是否是因子即可。但是本题的数据范围很大,使用普通的数据类型存不下来,除非使用高精度,但是这样的时间复杂度就太高了,因此我们需要考虑如何快速求解。
  我们知道\(\prod\limits_{i=l_1}^{r_1}i=l_1\cdot(l_1+1)\cdots(r_1)\),\(\prod\limits_{i=l_2}^{r_2}i=l_2\cdot(l_2+1)\cdots(r_2)\),两个式子相除,我们可以得到一个等式即\(l_2\cdot(l_2+1)\cdots(r_2)/l_1\cdot(l_1+1)\cdots(r_1)=r_2!\cdot(l_1-1)!/r1!\cdot(l2-1)!\)。我们知道对于每一个数,都有自己的质因数分解,因此要想判断一个数是否是另一个数的因子,只需要判断两个数相同质因数的个数(即幂的大小)是否被除数大于等于除数,如果满足条件,我们就说被除数能够被该除数整除,反之,不行。
  但是现在我们的除数和被除数均为阶乘的形式,如果我们对每个数都进行质因数的分解,是无法在时限内通过本题。所以我们需要知道阶乘的因子分解。
  对于任何给定的素数\(p\),我们希望能够确定能整除\(n!\)的\(p\)的最大幂,也就是知道\(n!\)中每个数中对\(p\)这个质因数的贡献,即求\(p\)在\(n!\)的唯一分解式中的指数。数学公式如下(来自《Concrete Mathematics》第四章数论部分):

\[S_p(n!)=\lfloor \frac{n}{p}\rfloor+\lfloor \frac{n}{p^2}\rfloor+\cdots=\sum\limits_{k\ge1}\lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor \]

从而我们就可以写出计算某个素数在阶乘中的贡献了

“计算贡献”
int cal(int num, int p)
{
    if (num == 0)
        return 0;
    return cal(num / p, p) + num / p;
}
  具体思路:先将数据范围内的素数筛出来,存放到一个数组中,对于每次的询问,计算数组中的所有素数在具体阶乘中的贡献,如果对于某个素数,在分母中的贡献大于在分子中的贡献,那么这个分母就不能是分子的因数。反之,如果全部素数都满足在分子中的贡献大于等于在分母中的贡献,那么这个分母就是分子的因数。
参考代码
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1e7;

vector<int> prime;
bool is_prime[N + 1];

void sieve()
{
    for (int i = 2; i <= N; i++)
    {

        if (!is_prime[i])
            prime.push_back(i);
        for (int j = 0; prime[j] <= N / i; j++)
        {
            is_prime[prime[j] * i] = true;
            if (i % prime[j] == 0)
                break;
        }
    }
}

int cal(int num, int p)
{
    if (num == 0)
        return 0;
    return cal(num / p, p) + num / p;
}

int main()
{
    sieve();
    int t;
    cin >> t;
    while (t--)
    {
        int l1, r1, l2, r2;
        cin >> l1 >> r1 >> l2 >> r2;

        bool ok = true;
        for (int i = 0; i < (int)prime.size(); i++)
        {
            int p = prime[i];
            int fac1 = cal(r2, p) + cal(l1 - 1, p);
            int fac2 = cal(l2 - 1, p) + cal(r1, p);
            if (fac1 < fac2)
            {
                ok = false;
                break;
            }
        }
        if (ok)
            puts("Yes");
        else
            puts("No");
    }

    return 0;
}
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