描述刚体在三维空间的运动：一次旋转加一次平移。
旋转矩阵
坐标系间的欧式变换
对于刚体运动，可以表示为一次旋转加一次平移运动。因此，可以定义一个物体的刚体运动表示为：
[
a
1
′
a
2
′
]
=
[
e
1
e
2
e
3
e
4
]
[
a
1
a
2
]
=
R
[
a
1
a
2
]
\begin{bmatrix}a1'\\a2'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}e1&e2\\e3&e4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a1\\a2\end{bmatrix}=R\begin{bmatrix}a1\\a2\end{bmatrix}
[a1′a2′]=[e1e3e2e4][a1a2]=R[a1a2]
其中的R称为旋转矩阵。旋转矩阵是行列式为1的正交矩阵。
旋转加上平移表示为：
a’=Ra+t
变换矩阵和齐次坐标
通过在三维向量的末尾添加1，变为齐次坐标。
[
a
′
1
]
=
[
R
t
0
1
]
[
a
1
]
=
T
[
a
1
]
\begin{bmatrix}a'\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}R&t\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\1\end{bmatrix}=T\begin{bmatrix}a\\1\end{bmatrix}
[a′1]=[R0t1][a1]=T[a1]
T叫做变换矩阵。
Eigen实践
Eigen中所有向量和矩阵都是Eigen::Matrix,它是一个模板类，例如，声明一个2x3的矩阵:
Matrix<float,2,3> matrix_23
Vector3d 实质上是 Eigen::Matrix<double, 3, 1>，即三维向量
求解matrix_NN * x = v_Nd 方程有三种方法：
1.求矩阵的逆
Matrix<double, MATRIX_SIZE, 1> x = matrix_NN.inverse() * v_Nd;
2.用矩阵分解来求，例如QR分解
x = matrix_NN.colPivHouseholderQr().solve(v_Nd);
3.对于正定矩阵，还可以用cholesky分解来解方程
x = matrix_NN.ldlt().solve(v_Nd);
欧拉角
欧拉角是围绕着三个轴的旋转来组成的旋转变换。但是会存在万向锁问题，当旋转有两个轴重合后，就会丢失一个*度。
四元数
参考复数形式，四元数q有一个实部和三个虚部，表达式：
q=q0+q1i+q2j+q3k
其中i，j，k是四元数的三个虚部，相互垂直的单位向量。
四元数旋转公式为：
p’ = qpq^(-1)
实例
3D 旋转矩阵直接使用 Matrix3d 或 Matrix3f：
Matrix3d rotation_matrix = Matrix3d::Identity();
旋转向量使用 AngleAxis, 它底层不直接是Matrix，但运算可以当作矩阵（因为重载了运算符）
AngleAxisd rotation_vector(M_PI / 4, Vector3d(0, 0, 1)); //沿 Z 轴旋转 45 度
// 欧拉角: 可以将旋转矩阵直接转换成欧拉角
Vector3d euler_angles = rotation_matrix.eulerAngles(2, 1, 0); // ZYX顺序，即yaw-pitch-roll顺序
可以直接把AngleAxis,旋转矩阵赋值给四元数，反之亦然Quaterniond q = Quaterniond(rotation_vector); q = Quaterniond(rotation_matrix);