8.3 阻抗和传递函数图形的构建
通常，我们可以通过观察来绘制近似的bode图，这样没有大量混乱的代数和不可避免的有关代数错误。使用这种方法可以对电路运行有较好的了解。在各种频率下哪些元件主导电路的响应变得很明显，同时合适的近似变得显而易见。近似转折频率和渐近线的解析表达式就可以直接得到。复杂网络的阻抗和传递函数也可以容易构建。因此，可以获得对电路的较好了解，方便设计的工程师修改电路，来获得所需的频率响应。
图形构造方法，也称为“在图形上做代数”，其涉及到使用一些简单的规则来组合阻抗和传递函数的幅值bode图等。
8.3.1 串联阻抗：渐近线相加
串联代表了阻抗的相加。如果单个阻抗幅值的bode图是已知的，那么通过简单取单个阻抗渐近线中最大的一条就可以找到串联组合的渐近线。在很多情况下，结果都是准确的。在其他情况下，例如当各个渐近线斜率相同时，结果是近似的；尽管如此，这种近似的精度也可能是很高的。
Fig. 8.40 Series R–C network example
考虑图8.40中的串联电阻-电容网络。我们期望构建串联阻抗\(Z(s)\)的幅值渐近线，其中：
\[Z(s)=R+ \cfrac{1}{sC} \tag{8.150} \]让我们首先画出各个阻抗的幅值。\(10\ \Omega\)电阻的阻抗的幅值为\(10\ \Omega \Rightarrow\ 20\ dB\Omega\)。如图8.41所示，该值与频率无关。电容阻抗幅值为\(1/\omega C\)。这个值与频率\(\omega\)成反比，并且其bode图是一条斜率为\(-20\ dB\)每十倍频程的线。该线以角频率\(\omega\)穿过\(1\ \Omega \Rightarrow\ 0\ dB\Omega\)，其中：
\[\cfrac{1}{\omega C} =1 \Omega \tag{8.151} \]也就是：
\[\omega=\cfrac{1}{(1 \Omega)C}=\cfrac{1}{(1\Omega)(10^{-6}F)}=10^{6}rad/sec \tag{8.152} \]图为：
Fig. 8.41 Impedance magnitudes of the individual elements in the network of Fig.8.40
写成频率\(f\)，频率为：
\[f=\cfrac{\omega}{2\pi}=\cfrac{10^{6}}{2\pi}=159\ kHz \tag{8.153} \]如图8.41所示，电容的阻抗幅值是一条斜率为\(-20\ dB\)每十倍频程的线，并且其在159kHz通过\(0\ dB\Omega\)。需要注意的是，为了简单起见，图8.41中的渐近线被标记为\(R\)和\(1/\omega C\)。但是要画bode就要用\(dB\Omega\)，例如\(20log_{10}(R/1\Omega)\)和\(20log_{10}((1/\omega C)/1\Omega)\)。
现在让我们来构造式(8.150)给出的\(Z(s)\)的幅值。幅值\(Z\)可以近似如下：
\[||Z(j\omega)||=||R+\cfrac{1}{j\omega C}|| \approx \begin{cases} R \ \ \ for\ R>>1/\omega C \\ \cfrac{1}{\omega C} \ \ for\ R<<1/\omega C \end{cases} \tag{8.154} \]串联组合的渐进线只是单个电阻和电容渐近线中较大的一条，如图8.42中的粗线所示。实际上在这个例子里，这就是\(||Z||\)的精确渐近线。在极限情况下，当频率趋向于0(直流)时，电容趋向于开路。那么这个串联组合由电容主导，实际值趋向于电容阻抗幅值的渐近线。在频率趋于无穷的极限情况下，电容趋向于短路，总阻抗就变得很简单了。因此，这个例子中\(R\)和\(1/\omega C\)的线就是实际的渐近线。
Fig. 8.42 Construction of the composite asymptotes of \(||Z||\). The asymptotes of the series combination can be approximated by simply selecting the larger of the individual resistor and capacitor asymptotes
渐近线交截处的转折频率\(f_{0}\)也很容易推导。在角频率\(\omega_{0}=2\pi f_{0}\)处，两条渐近线在数值上相等：
\[\cfrac{1}{\omega_{0}C}=R \tag{8.155} \]求解\(f_{0}\)和\(\omega_{0}\)为：
\[\begin{aligned} & \omega_{0}=\cfrac{1}{RC}=\cfrac{1}{(10 \Omega)(10^{-6}F)}=10^{5} rad/sec \\ & f_{0}=\cfrac{\omega_{0}}{2\pi}=\cfrac{1}{2\pi RC}=16kHz \end{aligned} \tag{8.156} \]因此，如果我们可以写出渐近线的解析表达式，那么我们令表达式相等，就能找到渐近线相交的转折频率的解析表达式。
实际曲线与渐进线的偏差遵循常规的规则。渐近线的斜率在转折频率\(f_{0}\)处变化了\(+20dB\)每十倍频程，因此在\(f=f_0\)处存在一个零点。因此，在\(f=f_{0}\)处，实际曲线与渐近线偏差为\(+3dB\)，并且在\(f=2f_{0}\)和\(f=f_{0}/2\)时偏差为\(+1dB\)。
8.3.2 串联谐振电路示例
Fig. 8.43 Series R–L–C network example
作为第二个示例，让我们来构建如图8.43所示的串联\(R-L-C\)电路的幅值渐近线。串联阻抗\(Z(s)\)为：
\[Z(s)=R+sL+\cfrac{1}{sC} \tag{8.157} \]图8.44绘制出了单个电阻，电容和电感的渐近线。各元件值为：
\[\begin{aligned} & R=1\ k\Omega \\ & L=1\ mH \\ & C=0.1\ \mu F \end{aligned} \tag{8.158} \]如图8.44中粗实线所示，串联阻抗在低频，中频以及高频分别由电容、电阻和电感主导。
Fig. 8.44 Graphical construction of \(||Z||\) of the series R–L–C network of Fig.8.43, for the element values specified by Eq.(8.158)
阻抗\(Z(s)\)在角频率\(\omega_{1}\)处有一个零点，这个频率就是电容和电阻渐近线的交截频率。通过令电阻和电容渐近线表达式相等，我们就可以求出这个频率\(\omega_{1}\)：
\[R=\cfrac{1}{\omega_{1}C} \ \Rightarrow \omega_{1}=\cfrac{1}{RC} \tag{8.159} \]第二个零点出现在角频率\(\omega_{2}\)处，这个频率实际就是电感和电阻渐近线的交截频率。通过令电阻和电感的阻抗表达式相等，可以求出该频率\(\omega_{2}\)：
\[R=\omega_{2}L \ \Rightarrow \omega_{2}=\cfrac{R}{L} \tag{8.160} \]因此可以直接得到\(Z(s)\)幅值bode图的所有重要特征的简单表达式。需要注意的是，式(8.159)和(8.160)是转折频率\(\omega_{1}\)和\(\omega_{2}\)的近似表达式，而不是精确表达式。这两个式子得到的结果与8.1.7节中利用低Q逼近的结果是一致的。
接下来，假设\(R\)的值减小到\(10\ \Omega\)。当\(R\)的值减小时，近似转折频率\(\omega_{1}\)和\(\omega_{2}\)越来越接近，在\(R=100\Omega\)
时，他们都是\(100\ krad/sec\)。进一步减小\(R\)的值时，渐近线将与\(R\)无关，图8.45给出了\(R=10 \Omega\)的图形。\(||Z||\)的渐近线直接由\(\omega L\)和\(1/\omega C\)两部分构成。
所以，此时在\(\omega=\omega_{0}\)处存在两个零点。在转折频率\(\omega_{0}\)处，电感和电容渐近线相交，因此：
\[\omega_{0}L=\cfrac{1}{\omega_{0}C}=R_{0} \tag{8.161} \]因此，角频率\(\omega_{0}\)的解为：
\[\omega_{0}=\cfrac{1}{\sqrt{LC}} \tag{8.162} \]在\(\omega=\omega_{0}\)处，电感和电容阻抗的幅值均为\(R_{0}\)，这里将这个\(R_{0}\)称为特征阻抗。
Fig. 8.45 Graphical construction of impedance asymptotes for the series R–L–C network example, with R decreased to 10 Ω
由于\(\omega=\omega_{0}\)处有两个零点，那么这两个零点有可能是复共轭的，峰值可能出现在\(\omega=\omega_{0}\)附近。那么就让我们来研究一下，在\(\omega=\omega_{0}\)处，实际曲线是怎样的。串联阻抗的实际值\(Z(j\omega_{0})\)为：
\[Z(j\omega_{0})=R+j\omega_{0}L+\cfrac{1}{j\omega_{0}C} \tag{8.163} \]将式(8.161)代入式(8.163)得到：
\[Z(j\omega_{0})=R+jR_{0}+\cfrac{R_{0}}{j}=R+jR_{0}-jR_{0}=R \tag{8.164} \]在\(\omega=\omega_{0}\)时，电感和电容的阻抗在幅值上相等而相位上相反。因此他们在串联时完全抵消，然后我们得到：\(Z(j\omega_{0})=R\)，如图8.46所示。在\(\omega=\omega_{0}\)处谐振附近的实际曲线会明显偏离渐近线，这是因为它的值是\(R\)决定的而不是\(\omega L\)或者\(1/\omega C\)决定的。
Fig. 8.46 Actual impedance magnitude (solid line) for the series resonant R–L–C example. The inductor and capacitor impedances cancel out at \(f = f_0\), and hence \(Z(jω_0) = R\)
我们从8.1.6节中可知，实际曲线与渐近线之间在\(\omega=\omega_{0}\)的差值等于\(Q\)。从式(8.46)可以看出：
\[|Q|_{dB}=|R_{0}|_{dB\Omega}-|R|_{dB\Omega} \tag{8.165} \]或:
\[Q=\cfrac{R_{0}}{R} \tag{8.166} \]式(8.161)到(8.166)就是串联谐振电路的实际求解结果。
通过简单的选择较大的渐近线来确定渐近线的方法是可以应用于传递函数和阻抗的。例如，假设我们已经构造了两个传递函数：\(G_{1}\)和\(G_{2}\)的幅值渐近线，并且我们希望得到\(G=G_{1}+G_{2}\)的渐近线。在所有频率下，\(G\)的渐近线可以通过简单的选择\(G_{1}\)和\(G_{2}\)中较大的渐近线来进行近似：
\[G=G_{1}+G_{2}\approx \begin{cases} G_{1},\ \ ||G_{1}||>>||G_{2}|| \\ G_{2},\ \ ||G_{2}||>>||G_{1}|| \end{cases} \tag{8.167} \]参考前面的例子，转折频率可以利用渐近线相等来求取。在下一章中，我们可以看到这种方法产生了一种简单而强大的方法来确定反馈系统的闭环传递函数。
8.3.3 并联阻抗：渐近线的逆加法(并联计算)
并联组合可以表示为阻抗的逆相加(inverse addition 实际为倒数相加取倒数)：
\[Z_{par}=\cfrac{1}{(\cfrac{1}{Z_{1}}+\cfrac{1}{Z_{2}}+...)}=Z_{1}//Z_{2}//... \tag{8.168} \]如果各个独立阻抗\(Z_{1},Z_{2},...\)已知，那么可以简单地选择最小的单个阻抗渐近线来确定并联阻抗\(Z_{par}\)的渐近线。这是成立的，因为最小的阻抗其倒数是最大的，并将主导倒数的和。如同在串联阻抗的情况下，这个过程就得到了\(Z_{par}\)的精确渐近线。
Fig. 8.47 Parallel R–L–C network example
让我们来构建如图8.47所示的并联\(R-L-C\)幅值渐近线，具体值如下：
\[\begin{aligned} & R=10 \Omega \\ & L=1mH \\ & C=0.1 \mu F \end{aligned} \tag{8.169} \]独立元件阻抗幅值如图8.48所示。
Fig. 8.48 Construction of the composite asymptotes of \(||Z||\), for the parallel R–L–C example. The asymptotes of the parallel combination can be approximated by simply selecting the smallest of the individual resistor, inductor, and capacitor asymptotes
总的并联阻抗\(Z\)的渐近线可以通过简单地选择最小的单个元件阻抗来近似，如图8.48中的粗线所示。因此，并联阻抗\(Z\)在低频，中频以及高频上分别由电感，电阻和电容主导。转折角频率的近似表达式同样可以通过令渐近线相等来获得：
\[\begin{aligned} & at\ \omega=\omega_{1},R=\omega_{1}L \Rightarrow \omega_{1}=\cfrac{R}{L} \\ & at\ \omega=\omega_{2},R=\cfrac{1}{\omega_{2}C} \Rightarrow \omega_{2}=\cfrac{1}{RC} \end{aligned} \tag{8.170} \]这些表达式也可以通过8.1.7节中结合低\(Q\)逼近的传统方法得到。
8.3.4 并联谐振电路示例
Fig. 8.49 Graphical construction of impedance asymptotes for the parallel R–L–C example, with R increased to 1 kΩ
图8.49展示了当并联\(R-L-C\)电路中的电阻\(R\)的值增加到\(1\ k\Omega\)时会发生什么情况。\(||Z||\)的渐近线变得与\(R\)无关，并且在\(\omega_{0}\)处直接从\(\omega L\)变为了\(1/\omega C\)。转折频率\(\omega_{0}\)就是电感和电容渐近线相等时的频率：
\[\omega_{0}L=\cfrac{1}{\omega_{0}C}=R_{0} \tag{8.171} \]这就意味着：
\[\omega_{0}=\cfrac{1}{\sqrt{LC}} \tag{8.172} \]在\(\omega=\omega_{0}\)处，\(||Z||\)的斜率从+20dB每十倍频程变为了-20dB每十倍频程，因此，这里存在两个极点。我们需要通过确定\(||Z||\)在\(\omega=\omega_{0}\)处的实际值来判断是否存在谐振峰，实际值如下：
\[\begin{aligned} & Z(j\omega_{0})=(R)//(j\omega_{0}L)||(\cfrac{1}{j\omega_{0}C}) \\ & = \cfrac{1}{(\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{j\omega_{0}L}+j\omega_{0}C)} \end{aligned} \tag{8.173} \]将(8.171)代入(8.173)得到：
\[\begin{aligned} & Z(j\omega_{0})=\cfrac{1}{\cfrac{1}{R}+\cfrac{1}{jR_{0}}+\cfrac{j}{R_{0}}} \\ & =\cfrac{1}{\cfrac{1}{R}-\cfrac{j}{R_{0}}+\cfrac{j}{R_{0}}}=R \end{aligned} \tag{8.174} \]因此，在\(\omega=\omega_{0}\)处，电感与电容的阻抗再一次抵消，并且只剩下\(Z(j\omega_{0})=R\)。L和C的值决定了渐近线的值，但\(R\)决定了\(\omega=\omega_{0}\)处实际曲线的值。
实际曲线如图8.50所示。实际曲线与渐近线在\(\omega=\omega_{0}\)处的差值为：
\[|Q|_{dB}=|R|_{dB\Omega}-|R_{0}|_{dB\Omega} \tag{8.175} \]或者：
\[Q=\cfrac{R}{R_0} \tag{8.176} \]式(8.171)到(8.176)就是实际并联电路的结果
Fig. 8.50 Actual impedance magnitude (solid line) for the parallel resonant R–L–C example. The
inductor and capacitor impedances cancel out at \(f = f_0\), and hence \(Z(jω_0) = R\)
对于阻抗幅值的图形化构建方式已经是众所周知了，电抗纸(reactance paper)已经可以购买到。如图8.51所示，不同的电阻，电感和电容的阻抗大小绘制在半对数坐标轴上。电阻，电感和电容的阻抗渐近线可以直接画在这个图上，可以用图形来确定转折角频率的数值。
Fig. 8.51 “Reactance paper”: an aid for graphical construction of impedances, with the magnitudes of various inductive, capacitive, and resistive impedances preplotted
8.3.5 分压器传递函数：渐近线的除法
通常，我们可以用阻抗来表示传递函数--例如两个阻抗的比值。如果我们可以利用前几节所述的方法构建阻抗，那么我们可以通过除法来构建传递函数。在本节中，将详细讨论图8.52的双极点\(R-L-C\)低通滤波器传递函数的构建。这种形式的滤波器出现在两极点变换器的规范模型中，本节的结果将用于下节的变换器实例。
Fig. 8.52 Two-pole low-pass filter based on voltage divider circuit: (a) transfer function H(s), (b) determination of Zout(s) by setting independent sources to zero, (c) determination of Zin(s)
我们熟知的分压器公式表明，该电路的传递函数可以表示为阻抗比\(Z_{2}/Z_{in}\)，其中\(Z_{in}=Z_{1}+Z_{2}\)为网络的输入阻抗：
\[\cfrac{\hat{v}_{2}(s)}{\hat{v}_{1}(s)}=\cfrac{Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}=\cfrac{Z_{2}}{Z_{in}} \tag{8.177} \]对于这个例子，\(Z_{1}(s)=sL\)，\(Z_{2}(s)\)由\(R\)和\(1/sC\)并联而成。因此，我们可以通过构造\(Z_{2}\)的渐近线和由\(Z_{in}\)表示的串联阻抗的渐近线，通过除法求解传递函数的渐近线。另一种方法是将等式的分子和分母同时乘以\(Z_{1}\)，这种方法在本例中更容易应用：
\[\cfrac{\hat{v}_{2}(s)}{\hat{v}_{1}(s)}=\cfrac{Z_{2}Z_{1}}{Z_{1}+Z_{2}} \cfrac{1}{Z_{1}}=\cfrac{Z_{out}}{Z_{1}} \tag{8.178} \]其中\(Z_{out}=Z_{1}//Z_{2}\)是分压器的输出阻抗。所以另一种构造分压器传递函数的方法首先是构造\(Z_{1}\)和以\(Z_{out}\)代表的并联阻抗的渐近线，然后将其相除。当并联阻抗\(Z_{1}//Z_{2}\)相比串联阻抗\(Z_{1}+Z_{2}\)更加容易构建时，这个方法是更加好用的。这通常会带来不同的近似结果，可能比使用\(Z_{in}\)得到的结果更加准确(有时更不准确)。
图8.52b中的输出阻抗\(Z_{out}\)为：
\[Z_{out}(s)=R//\cfrac{1}{sC}//sL \tag{8.179} \]如图8.52a所示的高\(Q\)逼近情况，并联\(R-L-C\)网络的阻抗在第8.3.3节已经构建。
根据式(8.178)，分压器传递函数为\(||H||=||Z_{out}||/||Z_{1}||\)。这个值在图8.53b中构建。当\(\omega=\omega_{0}\)，\(||Z_{out}||\)的渐近线与\(||Z_{1}||\)一致：都等于\(\omega L\)。因此比值\(||Z_{out}/Z_{1}||=1\)。当\(\omega>\omega_{0}\)时，渐近线\(||Z_{out}\)||的值为\(1/\omega C\)，此时\(||Z_{1}||\)的值为\(\omega L\)。此时比值\(||Z_{out}||/||Z_{1}||=1/\omega^{2}LC\)，因此高频渐近线斜率为\(-40dB\)每十倍频程。
Fig. 8.53 Graphical construction of H and Zout of the voltage divider circuit: (a) output impedance Zout; (b)transfer function H
在\(\omega=\omega_{0}\)处，\(||Z_{out}||\)的值为\(R\)，并且\(||Z_{1}||\)的值为\(R_{0}\)。该比值为\(||G(j\omega_{0})||=||Z_{out}(j\omega_{0})||/||Z_{1}(j\omega_{0})||=R/R_{0}=Q\)。因此，滤波器传递函数\(H\)与阻抗\(Z_{out}\)具有相同的\(\omega_{0}\)和\(Q\)。
现在，元件值的变化如何影响传递函数和输出阻抗的特征值变得显而易见。例如，增加\(L\)的效果可以如图8.54所示。这使得角谐振频率\(\omega_{0}\)降低，并且降低了品质因数。
Fig. 8.54 Effect of increasing L on the output impedance asymptotes, corner frequency, and Q-factor