8.5 交流传递函数以及阻抗的测量

测量原型变换器和变换器系统的传递函数是非常好的工程实践过程。这样的实践可以验证系统是否被正确地建模和设计。此外，通过测量单个电路元件的端阻抗来表征其特性也是非常有用的。

小信号交流的幅值和相位的测量可以使用一种被称为网路分析仪或频率分析仪的设备。基本的网络分析仪的关键输入和输出如图8.60所示。网络分析仪提供幅值和频率可控的正弦输出电压\(\hat{v}_{z}\)。该信号可以注入到带测量系统的任何期望位置。网络分析仪也可以有两个或多个输入，\(\hat{v}_{x}\)和\(\hat{v}_{y}\)。\(\hat{v}_{z}\)，\(\hat{v}_{x}\)和\(\hat{v}_{y}\)的返回电极在内部接地。网络分析仪具有窄带追踪电压表的功能：它可以测量注入频率下\(\hat{v}_{x}\)和\(\hat{v}_{y}\)的分量，并且显示\(\hat{v}_{y}/\hat{v}_{x}\)的幅值和相角。这种窄带追踪电压表特性对于开关变换器测量至关重要，否则开关纹波和噪声会破坏有用的正弦信号，使得精确测量变得不可能。现代的网络分析以可以自动扫描注入源的频率\(\hat{v}_{z}\)，从而生成传递函数\(\hat{v}_{y}/\hat{v}_{x}\)的幅值和相位。

Fig. 8.60 Key features and functions of a network analyzer: sinusoidal source of controllable amplitude and frequency, two inputs, and determination of relative magnitude and phase of the input components at the injection frequency

测量放大器传递函数的典型测试装置如图8.61所示。连接在直流电源\(V_{cc}\)和地之间的电位计可获得放大器的偏置输入，从而得到正确的静态工作点。注入的电压\(\hat{v}_{z}\)通过隔直电容耦合到放大器的输入端口。这个隔直电容可以防止注入的电压扰乱直流偏置。网络分析仪的输入端\(\hat{v}_{x}\)和\(\hat{v}_{y}\)，连接到放大器的输入和输出端口。因此，被测传递函数为：

\[\cfrac{\hat{v}_{y}}{\hat{v}_{x}}=G(s) \tag{8.192} \]

测试图为：

Fig. 8.61 Measurement of a transfer function

可以注意到，隔直电容，偏置电位计以及\(\hat{v}_{z}\)的幅值对测量的传递函数没有影响。

其中一个阻抗为：

\[Z(s)=\cfrac{\hat{v}(s)}{\hat{i}(s)} \tag{8.193} \]

这个阻抗可以通过将其认为是由电流到电压的传递函数。例如，放大器输出阻抗的测量如图8.62所示。静态工作条件同样由电位计进行设置。注入的电压\(\hat{v}_{z}\)通过隔直电容耦合到放大器。注入的电压\(\hat{v}_{z}\)在阻抗\(Z_{s}\)上激励出电流\(\hat{i}_{out}\)。这个电流流入放大器的输出端口，并激发了放大器输出阻抗上的电压：

\[Z_{out}(s)=\cfrac{\hat{v}_{y}(s)}{\hat{i}_{out}(s)}|_{amplifier \ ac\ input}=0 \tag{8.194} \]

其中电流探头用来测量\(\hat{i}_{out}\)。这个电流探头产生一个与电流成比例的电压，这个电压连接到网络分析仪的输入端\(\hat{v}_{x}\)。电压探头用来测量放大器的输入电压\(\hat{v}_{y}\)。网络分析仪会显示\(\hat{v}_{y}/\hat{v}_{x}\)的传递函数，这是正比于\(Z_{out}\)的。需要注意的是\(Z_{s}\)的值和\(\hat{v}_{z}\)的幅值不影响\(Z_{out}\)的幅值。

Fig. 8.62 Measurement of the output impedance of a circuit

在功率应用场合，有时需要测量的阻抗可能是非常小的。接地的问题使得图8.62所示的测试方式失效。其原因如图8.63a所示。由于注入源\(\hat{v}_{z}\)和分析仪的输入\(\hat{v}_{y}\)都连接到大地(earth ground)，注入电流\(\hat{i}_{out}\)可以通过注入源或者电压的一端返回。实际上，\(\hat{i}_{out}\)将会根据其相对阻抗分为两个流通路径。因此，通过电压探头的回路连接有一个很大的电流\((1-k)\hat{i}_{out}\)。如图8.63a所示，如果电压探头的返回连接线(负极)具有总的接触和线路阻抗\(Z_{probe}\)，那么这个电流在电压探头的线路阻抗上产生压降\((1-k)\hat{i}_{out}Z_{probe}\)。因此，网络分析仪就不能正确测量阻抗\(Z\)两端的压降。如果网络分析仪内部的连接阻抗可以忽略不计，那么其显示的阻抗为：

\[Z+(1-k)Z_{probe}=Z+Z_{probe}//Z_{rz} \tag{8.195} \]

这里，\(Z_{rz}\)是注入源回路阻抗。因此，为了获得精确的测量，必须满足以下条件：

\[||Z||>>||(Z_{probe}//Z_{rz})|| \tag{8.196} \]

\(||Z||\)的典型下限值为几十到几百毫欧。

图8.63b给出了一种用于测量小阻抗的改进测试装置。在注入源和隔直电容器之间插入一个隔离变压器。电压探头和注入源的返回端(负极)不再并联，注入电流现在必须完全通过注入源返回。另一个好处是，变压器的匝比可以增加，来更好的匹配注入源阻抗和测试阻抗。请注意，变压器，隔直电容器以及探头和注入源回路连接的阻抗不会影响测量。因此，使用这种方法可以测量小得多的阻抗。

Fig. 8.63 Measurement of a small impedance Z(s): (a) current flowing in the return connection of the voltage probe induces a voltage drop that corrupts the measurement; (b) an improved experiment, incorporating isolation of the injection source

8.6 要点小结

1.以\((f/f_{0})^{n}\)形式变化的函数的幅值bode图斜率为\(20n\ dB\)每十倍频程，并且在\(f=f_{0}\)处穿越\(0\ dB\)。

2.用归一化的零极点形式来表示传递函数是一种非常好的实践做法。这种形式直接揭示了响应的特征表达式，也就是转折频率，相对增益，等。

3.右半平面零点表现出左半平面零点的幅值响应，但相位响应与左半平面极点一致。

4.如果希望得到高频渐近线增益，可以利用频率翻转的形式表示零点和极点。(类似\(s/\omega\)形式)

5.可以以式(8.58)的标准形式表示表示两极点响应传递函数。当\(Q>0.5\)时，极点是复共轭的。幅值响应会在转折频率\(f=f_{0}\)附近出现峰值\(Q\)。高的\(Q\)也会使相位在转折频率附近急剧变化。

6.当\(Q<0.5\)时，两极点响应可以表示为两个极点的形式。低\(Q\)近似可以估计出两个极点出现在\(f_{0}/Q\)和\(Qf_{0}\)处。当\(Q<0.3\)时，这些频率与实际值之间偏差在10%以内。

7.当电路中包含两个阻尼元件时，复合\(Q\)系数可以由两个元件分别确定的\(Q\)系数的并联结果来估计。当各个\(Q\)

系数乘积大于5时，该估算值精确度将在5%以内。

8.低\(Q\)近似可以推广为求解任意多项式的根。可以推导出特征值的近似解析表达式。这些数值可以用于证明近似值。

9.在8.2.2节中，buck，boost和Buck-boost变换器的传递函数特征值以表格的形式列出。这些变换器的输入-输出传递函数包含两个极点。控制-输出传递函数也包含两个极点，并且可能还包含一个右半平面零点。

10.阻抗和传递函数的近似幅值渐近线可以通过图形的方法构造出来。这种方法是常规分析方法的有效补充，因为其可以从物理上理解电路特性，并且展示了电路合适的近似值。8.3节中研究了包括基本串联和并联谐振电路的阻抗和分压器电路的传递函数\(H(s)\)等几个示例。8.4节中构建了buck变换器的输入阻抗，输出阻抗以及传递函数，并且，渐近线的物理来源，转折频率以及\(Q\)系数也能够得到。

11.8.5节中使用了网络分析仪测量传递函数和阻抗。测量小阻抗时，要特别注意接地的连线问题。