在我们初次做完全数 问题时 有可能会遇到TLE（时间超限）的情况，因此写这篇文章来深入分析一下 并且 提出良好的解决方案。

完全数问题如下：

一个整数，除了本身以外的其他所有约数的和如果等于该数，那么我们就称这个整数为完全数。

例如，6 就是一个完全数，因为它的除了本身以外的其他约数的和为 1+2+3=6。

现在，给定你 N 个整数，请你依次判断这些数是否是完全数。

输入格式

第一行包含整数 N，表示共有 N 个测试用例。

接下来 N 行，每行包含一个需要你进行判断的整数 X。

输出格式

每个测试用例输出一个结果，每个结果占一行。

如果测试数据是完全数，则输出 X is perfect，其中 XX 是测试数据。

如果测试数据不是完全数，则输出 X is not perfect，其中 XX 是测试数据。

数据范围

1 ≤ N ≤ 100
1 ≤ X ≤ 10^8

输入样例

3
6
5
28

输出样例：

6 is perfect
5 is not perfect
28 is perfect

先给出普通写法，也就是大多数同学的写法：

#include<cstdio>
#include<iostream>

using namespace std;

int main()
{
	int n, x, i, sum;

	cin >> n;
	while (n)
	{
		sum = 0;
		cin >> x;
		for (i = 1; i < x; i++)
		{
			if (x % i == 0)
				sum += i;
		}
		if (sum == x)
			printf("%d is perfect\n", x);
		else
			printf("%d is not perfect\n", x);
			n--;
	}
	return 0;
}

当提交的时候，会发现时间超限！这是为什么呢？接下来分析一下：

C++写代码时，每秒钟会计算1e8次 也就是一亿次，如果n = 100, x = 10^8，那么总共会计算100亿次，远远超过了 时间限制，如何对代码进行优化呢？

首先，假设 d是x的约数，那么x / d也是x的约数。例如2是12的约数，而12 / 2 = 6 也是12的约数，所以只用枚举小的那个约数就可以减少运算量了。即d <= x / d 即d * d <= x 即 d <= 根号 x 。

代码实现

#include<cstdio>
#include<iostream>

using namespace std;

int main()
{
	int n, x, i, sum;

	cin >> n;
	while (n--)
	{
		sum = 0;
		cin >> x;
		for (i = 1; i * i <= x; i++)
		{
			if (x % i == 0)
			{
				if (i < x)
					sum += i;
				if (i != x / i && x / i < x)
					sum += x/i;
			}
		}
		if (sum == x)
			printf("%d is perfect\n", x);
		else
			printf("%d is not perfect\n", x);
	}
	return 0;
}

另作说明：1.for语句里面 每一个 if 语句 都要判断 i < x  ，这是为了避免 读入x = 1时 输出  1 is perfect 的情况。     2.第二个if 中 i != x / i 是为了 避免 当x 为36时（约数为 6 和 6）重复加上6的情况。

还有一道经典的统计素数个数的问题 也用到了这个优化方式：

题目

一个大于 1 的自然数，如果除了 1 和它自身外，不能被其他自然数整除则称该数为质数。

例如 7 就是一个质数，因为它只能被 1 和7 整除。

现在，给定你 N 个大于 1 的自然数，请你依次判断这些数是否是质数。

输入格式

第一行包含整数 N，表示共有 N个测试数据。

接下来 N 行，每行包含一个自然数 X。

输出格式

每个测试用例输出一个结果，每个结果占一行。

如果测试数据是质数，则输出 X is prime，其中 XX 是测试数据。

如果测试数据不是质数，则输出 X is not prime，其中 XX 是测试数据。

数据范围

1 ≤ N ≤ 100,
1 < X ≤ 10^7

#include<cstdio>
#include<iostream>

using namespace std;

int main()
{
	int n, x, i;
	bool is_prime = true;

	cin >> n;
	while (n--)
	{
		cin >> x;
		is_prime = true;
		for (i = 2; i * i <= x; i++)
		{
			if (x % i == 0)
			{
				is_prime = false;
				break;
			}
		}
		if (is_prime == true)
			printf("%d is prime\n", x);
		else
			printf("%d is not prime\n", x);
	}
	return 0;
}