题目

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P5361
小 Q 的生日快到了，他决定周末邀请一些朋友到他的新房子一起聚会！
他的联系薄上有 \(n\) 位好友，他们两两之间或者互相认识，或者互相不认识。小 Q 希望在周六办一个热闹的聚会，再在周日办一个尴尬的聚会。

• 一场热闹度为 \(p\) 的聚会请来了任意多位好友，对于每一位到场的好友来说都有至少 \(p\) 位他认识的好友也参加了聚会，且至少对于一位到场的好友来说现场恰好有 \(p\) 位他认识的好友；
• 一场尴尬度为 \(q\) 的聚会请来了恰好 \(q\) 位好友，且他们两两互不认识。

两场聚会可能有重复的参与者，联系薄上也有可能有某些好友同时缺席了两场聚会。
小 Q 喜欢周六聚会的热闹度 \(p\) 与周日聚会的尴尬度 \(q\) 之间满足：\(\left\lfloor \frac{n}{p+1} \right\rfloor\! \le q\) 且 \(\left\lfloor \frac{n}{q+1} \right\rfloor\! \le p\)。
请帮助小 Q 找出一个可行的邀请方案。
\(Q\leq 32,n\leq 10^4,m\leq 10^5\)。

思路

也就是给你一张图，要求选出两个点集（可以有交）：

• 第一个点集没有限制，单独把第一个点集里的点和边拿出来，记度数最小的点的度数为 \(p\)。
• 第二个点集要求是图的独立集，记点集大小为 \(q\)。

要求 \(\left\lfloor \frac{n}{p+1} \right\rfloor\! \le q\) 且 \(\left\lfloor \frac{n}{q+1} \right\rfloor\! \le p\)，并给出任意一种方案。
看到独立集自然想到这是一道乱搞题。
假设目前第一个点集为 \(S\)，我们要删去一个点使得 \(p\) 更大，那么显然删去度数最小的点最优。然后继续更新其他依然在 \(S\) 中的点的度数。
维护一个堆即可。不难发现这样是可以找到最优的 \(p\) 的。
考虑最大化 \(q\)，显然这个是没有确定性算法的，所以直接模拟退火！
其实可以直接不断选择度数最小的点，删去图中与它相连的边。
因为我们每次选择的点的度数一定不超过 \(p\)，如果超过了，那么第一问中肯定有大于 \(p\) 的方案。所以每次最多删去 \(p+1\) 个点，那么就有 \(\left\lfloor \frac{n}{p+1} \right\rfloor\! \le q\)。
时间复杂度 \(O(Q(n+m)\log n)\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define mp make_pair
#define ST first
#define ND second
using namespace std;

const int N=200010;
int Q,n,m,p,pos,tot,head[N],deg[N],deg1[N],vis1[N];
bool vis2[N];
priority_queue<pair<int,int> > q;
queue<int> q1;

int read()
{
	int d=0; char ch=getchar();
	while (!isdigit(ch)) ch=getchar();
	while (isdigit(ch)) d=(d<<3)+(d<<1)+ch-48,ch=getchar();
	return d;
}

struct edge
{
	int next,to;
}e[N*2];

void add(int from,int to)
{
	e[++tot]=(edge){head[from],to};
	head[from]=tot; deg[to]++; deg1[to]++;
}

void prework()
{
	while (q.size()) q.pop();
	while (q1.size()) q1.pop();
	for (int i=1;i<=n;i++)
		head[i]=-1,deg[i]=deg1[i]=vis1[i]=vis2[i]=0;
	tot=p=pos=0;
}

int main()
{
	Q=read();
	while (Q--)
	{
		n=read(); m=read();
		prework();
		for (int i=1,x,y;i<=m;i++)
		{
			x=read(); y=read();
			add(x,y); add(y,x);
		}
		for (int i=1;i<=n;i++)
			q.push(mp(-deg[i],i));
		for (int i=1;i<=n;i++)
		{
			while (vis1[q.top().ND]) q.pop();
			int x=q.top().ND; q.pop();
			vis1[x]=i;
			if (deg[x]>=p) p=deg[x],pos=i;
			for (int i=head[x];~i;i=e[i].next)
			{
				int v=e[i].to;
				if (!vis1[v]) q.push(mp(-(--deg[v]),v));
			}
		}
		while (q.size()) q.pop();
		for (int i=1;i<=n;i++)
			deg[i]=deg1[i],q.push(mp(-deg[i],i));
		while (q.size())
		{
			while (q.size() && vis2[q.top().ND]) q.pop();
			if (!q.size()) break;
			int x=q.top().ND; q.pop();
			vis2[x]=1; q1.push(x);
			for (int i=head[x];~i;i=e[i].next)
				vis2[e[i].to]=1;
		}
		tot=0;
		for (int i=1;i<=n;i++)
			if (vis1[i]>=pos) tot++;
		cout<<tot;
		for (int i=1;i<=n;i++)
			if (vis1[i]>=pos) cout<<' '<<i;
		cout<<"\n";
		cout<<q1.size();
		for (;q1.size();q1.pop())
			cout<<' '<<q1.front();
		cout<<"\n";
	}
	return 0;
}