一刷109-动态规划-96不同的二叉搜索树(m)

题目:
给你一个整数 n ,求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种?
返回满足题意的二叉搜索树的种数。

一刷109-动态规划-96不同的二叉搜索树(m)

输入:n = 3
输出:5
示例 2:

输入:n = 1
输出:1
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思考:
这道题目描述很简短,但估计大部分同学看完都是懵懵的状态,这得怎么统计呢?
我们应该先举几个例子,画画图,看看有没有什么规律,如图:

一刷109-动态规划-96不同的二叉搜索树(m)

n为1的时候有一棵树,n为2有两棵树,这个是很直观的。

一刷109-动态规划-96不同的二叉搜索树(m)

来看看n为3的时候,有哪几种情况。

当1为头结点的时候,其右子树有两个节点,看这两个节点的布局,
是不是和 n 为2的时候两棵树的布局是一样的啊!
(可能有同学问了,这布局不一样啊,节点数值都不一样。别忘了我们就是求不同树的数量,
并不用把搜索树都列出来,所以不用关心其具体数值的差异)
当3为头结点的时候,其左子树有两个节点,看这两个节点的布局,是不是和n为2的时候两棵树的布局也是一样的啊
当2为头结点的时候,其左右子树都只有一个节点,布局是不是和n为1的时候只有一棵树的布局也是一样的啊!
发现到这里,其实我们就找到了重叠子问题了,
其实也就是发现可以通过dp[1] 和 dp[2] 来推导出来dp[3]的某种方式。
思考到这里,这道题目就有眉目了。

dp[3],就是 元素1为头结点搜索树的数量 + 元素2为头结点搜索树的数量 + 元素3为头结点搜索树的数量
元素1为头结点搜索树的数量 = 右子树有2个元素的搜索树数量 * 左子树有0个元素的搜索树数量
元素2为头结点搜索树的数量 = 右子树有1个元素的搜索树数量 * 左子树有1个元素的搜索树数量
元素3为头结点搜索树的数量 = 右子树有0个元素的搜索树数量 * 左子树有2个元素的搜索树数量
有2个元素的搜索树数量就是dp[2]。
有1个元素的搜索树数量就是dp[1]。
有0个元素的搜索树数量就是dp[0]。
所以dp[3] = dp[2] * dp[0] + dp[1] * dp[1] + dp[0] * dp[2]
如图所示:

一刷109-动态规划-96不同的二叉搜索树(m)

此时我们已经找到递推关系了,那么可以用动规五部曲再系统分析一遍。

确定dp数组(dp table)以及下标的含义
dp[i] : 1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]。

也可以理解是i的不同元素节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i] ,都是一样的。
以下分析如果想不清楚,就来回想一下dp[i]的定义

确定递推公式
在上面的分析中,其实已经看出其递推关系, 
dp[i] += dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量]

j相当于是头结点的元素,从1遍历到i为止。
所以递推公式:dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; ,
j-1 为j为头结点左子树节点数量,i-j 为以j为头结点右子树节点数量

dp数组如何初始化
初始化,只需要初始化dp[0]就可以了,推导的基础,都是dp[0]。
那么dp[0]应该是多少呢?
从定义上来讲,空节点也是一棵二叉树,也是一棵二叉搜索树,这是可以说得通的。

从递归公式上来讲,dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量] 中
以j为头结点左子树节点数量为0,也需要dp[以j为头结点左子树节点数量] = 1, 否则乘法的结果就都变成0了。
所以初始化dp[0] = 1

确定遍历顺序
首先一定是遍历节点数,从递归公式:dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]可以看出,
节点数为i的状态是依靠 i之前节点数的状态。
那么遍历i里面每一个数作为头结点的状态,用j来遍历。
代码如下:
for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= i; j++) {
        dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
    }
}

举例推导dp数组
n为5时候的dp数组状态如图:

一刷109-动态规划-96不同的二叉搜索树(m)

代码:
class Solution {
	public int numTrees(int n) {
		int[] dp = new int[n+1];
		dp[0] = 1;
		dp[1] = 1;
		for (int i = 2; i <= n; i++) {
			for (int j = 1; j <= i; j++) {
			 //对于第i个节点,需要考虑1作为根节点直到i作为根节点的情况,所以需要累加
             //一共i个节点,对于根节点j时,左子树的节点个数为j-1,右子树的节点个数为i-j
				dp[i] += dp[j-1] * dp[i-j];
			}
		}
		return dp[n];
	}
}

LC

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