数学建模中的层次分析法笔记

1、层次分析法:用于评价类模型,建立模型要确定评价目标、实现目标的方案、评价准则。

2、层次分析法具体实现步骤(辅以具体例子说明):

(1)建立层次结构

解决评价类问题想到的问题:

我们评价的目标是什么?

答:为小明同学选择最佳的旅游景点。

我们为了达到这个目标有哪几种可选的方案?

答:三种,分别是去苏杭、去北戴河和去桂林。

评价的准则或者说指标是什么?(我们根据什么东西来评价好坏) 答:景色、花费、居住、饮食、交通

由此得到层次结构如下

数学建模中的层次分析法笔记

(2)构造层次结构图的判断矩阵

数学建模中的层次分析法笔记

数学建模中的层次分析法笔记

判断矩阵是正负反矩阵,数据由专家经验得出,但实际在比赛中是通过查资料得出。对应的元素数学建模中的层次分析法笔记指相对于j,i的重要程度,数学建模中的层次分析法笔记,数学建模中的层次分析法笔记=1,数学建模中的层次分析法笔记>0。用1-9表示重要程度,如下表所示

标度 含义
1 同样重要性
3 稍微重要
5 明显重要
7 强烈重要
9 极端重要
2,4,6,8 上述两相邻判断的中值
倒数

A和B相比如果标度为3那么B和A相比就是1/3

  (3)对判断矩阵进行一致性检验

这一步即检验构造的判断矩阵与一致矩阵是否有太大差别

方法一

数学建模中的层次分析法笔记=i的重要程度/j的重要程度,数学建模中的层次分析法笔记=j的重要程度/k的重要程度

数学建模中的层次分析法笔记=i的重要程度/k的重要程度=数学建模中的层次分析法笔记

方法二

判断矩阵各行各列成比例即为一致矩阵

方法三

(1)计算一致性指标数学建模中的层次分析法笔记

  (2)   查找对应的平均随机一致性指标RI

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
RI 0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59
 (3)计算一致性比例 数学建模中的层次分析法笔记

程序实现

clear;clc;
A=[1 2 4;0.5 1 2;0.25 0.5 1];
[V,D]=eig(A);
[n,n]=size(A);
Max_eig=max(max(A));
CI=(Max_eig-n)/(n-1);
RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];  
CR=CI/RI(n);
disp('一致性比例CR=');disp(CR);
if(CR<0.1)
   disp('判断矩阵一致性可以接受');
else
   disp('判断矩阵一致性可以接受')
end

(4)由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重

算术平均法

(1)将判断矩阵按照列归一化即每一个元素除以所在列的和

(2)将归一化各列相加

(3)将相加后得到的每项除n

clear;clc
A=[1 2 4;0.5 1 2;0.25 0.5 1];
Sum_A=sum(A);
[n,n]=size(A);
SUM_A=repmat(Sum_A,n,1);
Stand_A=A./SUM_A;
sum(Stand_A,2);
disp('算术平均法求权重的结果为:');
disp(sum(Stand_A,2)/n)
B=[1 1/3 1/8;3 1 1/3;8 3 1];
Sum_B=sum(B);
[n,n]=size(B);
SUM_B=repmat(Sum_B,n,1);
Stand_B=B./SUM_B;
sum(Stand_B,2);
disp('算术平均法求权重的结果为:');
disp(sum(Stand_B,2)/n)
C=[1 1 3;1 1 3;1/3 1/3 1];
Sum_C=sum(C);
[n,n]=size(C);
SUM_C=repmat(Sum_C,n,1);
Stand_C=C./SUM_C;
sum(Stand_C,2);
disp('算术平均法求权重的结果为:');
disp(sum(Stand_C,2)/n)
D=[1 1 1/4;1 1 1/4;4 4 1];
Sum_D=sum(D);
[n,n]=size(D);
SUM_D=repmat(Sum_D,n,1);
Stand_D=D./SUM_D;
sum(Stand_D,2);
disp('算术平均法求权重的结果为:');
disp(sum(Stand_D,2)/n)
E=[1 1/2 4 3 3;2 1 7 5 5;1/4 1/7 1 1/2 1/3;1/3 1/5 2 1 1 ;1/3 1/5 3 1 1];
Sum_E=sum(E);
[n,n]=size(E);
SUM_E=repmat(Sum_E,n,1);
Stand_E=E./SUM_E;
sum(Stand_E,2);
disp('算术平均法求权重的结果为:');
disp(sum(Stand_E,2)/n)

几何平均法

(1)将判断矩阵按行相乘得到新的列向量

(2)将新的向量每个分量开n次方

(3)对该向量进行均一化得到权重向量

clear;clc;
A=[1 2 4;0.5 1 2;0.25 0.5 1];
Product_A=prod(A,2);
[n,n]=size(A);
Product_n_A=Product_A.^(1/n);
disp('几何平均法求权重的结果为:');
disp(Product_n_A ./ sum(Product_n_A))
B=[1 1/3 1/8;3 1 1/3;8 3 1];
Product_B=prod(B,2);
[n,n]=size(B);
Product_n_B=Product_B.^(1/n);
disp('几何平均法求权重的结果为:');
disp(Product_n_B ./ sum(Product_n_B)) 
C=[1 1 3;1 1 3;1/3 1/3 1];
Product_C=prod(C,2);
[n,n]=size(C);
Product_n_C=Product_C.^(1/n);
disp('几何平均法求权重的结果为:');
disp(Product_n_C./ sum(Product_n_C))
D=[1 1 1/4;1 1 1/4;4 4 1];
Product_D=prod(D,2);
[n,n]=size(D);
Product_n_D=Product_D.^(1/n);
disp('几何平均法求权重的结果为:');
disp(Product_n_D./ sum(Product_n_D))
E=[1 1/2 4 3 3;2 1 7 5 5;1/4 1/7 1 1/2 1/3;1/3 1/5 2 1 1 ;1/3 1/5 3 1 1];
Product_E=prod(E,2);
[n,n]=size(E);
Product_n_E=Product_E.^(1/n);
disp('几何平均法求权重的结果为:');
disp(Product_n_E ./ sum(Product_n_E))

特征值法

(1)求最大特征值以及对应的特征向量,得最大特征值的位置

(2)对得出的特征向量进行归一化处理

clear;clc;
A=[1 2 4;0.5 1 2;0.25 0.5 1];
[V,D]=eig(A);
Max_eig=max(max(A));
D==Max_eig;
find(D,1);
[r,c]=find(D,1);
V(:,c);
disp('特征值法求权重的结果为:')
disp(V(:,c)./sum(V(:,c)))
B=[1 1/3 1/8;3 1 1/3;8 3 1];
[V,D]=eig(B);
Max_eig=max(max(B));
D==Max_eig;
find(D,1);
[r,c]=find(D,1)
V(:,c);
disp('特征值法求权重的结果为:')
disp(V(:,c)./sum(V(:,c)))
C=[1 1 3;1 1 3;1/3 1/3 1];
[V,D]=eig(C);
Max_eig=max(max(C));
D==Max_eig;
find(D,1);
[r,c]=find(D,1);
V(:,c);
disp('特征值法求权重的结果为:')
disp(V(:,c)./sum(V(:,c)))
D=[1 1 1/4;1 1 1/4;4 4 1];
[V,D]=eig(D);
Max_eig=max(max(D));
D==Max_eig;
find(D,1);
[r,c]=find(D,1);
V(:,c);
disp('特征值法求权重的结果为:')
disp(V(:,c)./sum(V(:,c)))
E=[1 1/2 4 3 3;2 1 7 5 5;1/4 1/7 1 1/2 1/3;1/3 1/5 2 1 1 ;1/3 1/5 3 1 1];
[V,D]=eig(E);
Max_eig=max(max(E));
D==Max_eig;

3、层次分析法的局限性

(1)决策层不能过多,n太大时判断矩阵和一致性矩阵差异可能会很大,一般n最大取15

(2)如果决策层中的数据是已知的

本笔记是根据清风老师的数学建模课第一节层次分析法总结出来的,感兴趣的小伙伴可以在B站上看哦~

上一篇:JUC 学习笔记


下一篇:【优化布局】基本蚁狮算法在WSN节点部署中的应用matlab源码