描述
有一个机器人的位于一个 m × n 个网格左上角。
机器人每一时刻只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角。
问有多少条不同的路径？

注意：n和m均不超过100，且答案保证在32位整数可表示范围内。

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样例 1:

Input: n = 1, m = 3
Output: 1        
Explanation: Only one path to target position.

样例2：

Input:  n = 3, m = 3
Output: 6        
Explanation:
        D : Down
        R : Right
        1) DDRR
        2) DRDR
        3) DRRD
        4) RRDD
        5) RDRD
        6) RDDR

挑战
要求时间复杂度为 O(n)

解题思路

不难发现，机器人从左上角走到右下角，需要向下走m - 1步，向右走n - 1步，那么总步数也是一定的，为m + n - 2步。问题就转化成，从m + n - 2步中选出m - 1步向下，其余步数自然是向右，有多少种组合？
利用我们中学的知识可知，答案是

根据组合公式，有

计算三数的阶乘，我们就能得出答案。我们还可以进行一定的优化，展开成上述公式的最右项。设m < n，那么时间复杂度就只有O(m)。

复杂度分析

时间复杂度: O(min(m,n))。计算阶乘的时间复杂度与m, n中的较小数成线性关系。
空间复杂度:O(1)。常量空间。

class Solution:

    """
    @param m: positive integer (1 <= m <= 100)
    @param n: positive integer (1 <= n <= 100)
    @return: An integer
    """

    def uniquePaths(self, m, n):
        # corner case
        if (m == 1 or n == 1):
            return 1

        # 保证m <= n
        if (m > n):
            m, n = n, m

        # 计算阶乘
        temp = 1
        res = 1
        for i in range(1, m):
            temp *= i
        for i in range(n, m + n - 1):
            res *= i
        return res//temp

动态规划

解题思路
建立二维数组dp，令dpi表示到达 i, j的最多路径数。
初始化：对于第一行 dp0，或者第一列 dpi，都只有一条路径。
机器人到达位置(i, j)有两种方式：从(i - 1, j)下移和从(i, j - 1)右移。状态转移方程为：

复杂度分析
时间复杂度：O(mn)。遍历dp数组进行动态规划。
空间复杂度：O(mn)。创建的dp数组的大小。
代码

class Solution:

    """
    @param m: positive integer (1 <= m <= 100)
    @param n: positive integer (1 <= n <= 100)
    @return: An integer
    """

    def uniquePaths(self, m, n):
        dp = [[0] * n for _ in range(m)]
        for i in range(m):
            for j in range(n):
                if i == 0 or j == 0:
                    dp[i][j] = 1
                else:
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]
    return dp[m - 1][n - 1]

优化后的动态规划
dp可以优化为一维滚动数组。当第i次遍历到dp[j]时，dp[j]表示到达(i, j)最多的路径数。递推公式为：dp[j]+=dp[j−1]。
复杂度分析
时间复杂度：O(mn)。遍历dp数组进行动态规划。
空间复杂度：O(n)。创建的一维dp数组的大小。
代码

class Solution:
    """
    @param m: positive integer (1 <= m <= 100)
    @param n: positive integer (1 <= n <= 100)
    @return: An integer
    """
    def uniquePaths(self, m, n):
        dp = [0] * n
        dp[0] = 1
        for i in range(m):
            for j in range(1, n):
                dp[j] += dp[j - 1]
    return dp[n - 1]

更多题解参考：九章官网solution