BZOJ 1010: [HNOI2008]玩具装箱toy [DP 斜率优化]

2021-07-06 14:03:21

1010: [HNOI2008]玩具装箱toy

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Description

　　P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压
缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过
压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容
器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一
个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，
如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容
器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

　　第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

　　输出最小费用

Sample Input

5 4
3
4
2
1
4

Sample Output

待整理

c处理前缀和

f[i]=min{1<=j<i}f(j)+(si-sj+i-j-1-L)^2

i的在一起，j的在一起，展开二次，就得到斜率优化的形式

2*(s[i]+i)<=...........

min是下凸壳

本题x坐标和斜率都单增，用单调队列就行了

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#include<cmath>

using namespace std;

const int N=5e4+;

typedef long long ll;

inline int read(){

    char c=getchar();int x=,f=;

    while(c<''||c>''){if(c=='-')f=-; c=getchar();}

    while(c>=''&&c<=''){x=x*+c-''; c=getchar();}

    return x*f;

}

int n,L;

ll s[N],f[N];

ll F(int i){return f[i]+(s[i]++L)*(s[i]++L);}

double slope(int a,int b){return (F(b)-F(a))/(s[b]-s[a]);}

int head,tail,q[N];

void dp(){

    head=tail=;

    q[head]=;

    for(int i=;i<=n;i++){

        while(head<tail&&slope(q[head],q[head+])<=*s[i]) head++;

        int j=q[head];

        f[i]=f[j]+(s[i]-s[j]--L)*(s[i]-s[j]--L);

        while(head<tail&&slope(q[tail],i)<=slope(q[tail-],q[tail])) tail--;

        q[++tail]=i;

    }

}

int main(){

    n=read();L=read();

    for(int i=;i<=n;i++) s[i]=s[i-]+read();

    for(int i=;i<=n;i++) s[i]+=i;

    dp();

    printf("%lld",f[n]);

}

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