之前我们讨论了几个机器学习的模型，线性回归模型(Linear Regression)和逻辑回归模型(Logistic Regression)，这一次我们讨论一下关于模型数据拟合的问题以及归一化方法(Regularization)。

过拟合问题(The Problem of Overfitting)

如果我们有非常非常多的特征，我们通过学习得到的假设可能会非常适应训练集（代价函数的值可能几乎为0），但是这样的假设能不能推广使用到新的数据呢？下面有一些例子：

从左至右来看，第一个模型是一个线性模型，拟合度很低，也称作低度拟合(Underfitting)，不能很好地适应我们的训练集；第三个模型，是一个四次方的模型，属于过度拟合，虽然能够很好地适应我们的训练集数据，但是在新输入变量进行预测的时候，可能效果会很差；而第二个模型，似乎是最合适的模型。

在分类问题(Classification)中，也存在这样的问题：

最后一个模型就是过度拟合的情况。

那么问题出现了，如果我们发现了这样过度拟合的情况，如何处理？

思考后，有两种方式：

1，丢弃一些不能帮助我们正确预测的特征。

• 可能是手工选择保留哪些特征
• 或者使用一些模型选择的算法来帮忙（例如 PCA）

2，归一化

• 保留所有的特征，但是减少参数的大小(Magnitude)

归一化代价函数(Regularization Cost Function)

上面的回归问题中，如果我们使用的模型是：

我们决定要减小ø3和ø4的大小，我们需要做的就是修改代价函数，在其中ø3和ø4的身上，设置一些惩罚(Punishment)。这样做的话，我们在尝试最小化代价时，也需要将这个惩罚代入考虑中，并最终导致选择小一些的ø3和ø4 。 修改之后的代价函数如下：

这样，通过代价函数选择出的ø3和ø4对整个预测结果的影响就比之前小了很多。

加入我们有非常多的特征，我们并不知道其中哪些特征是我们要惩罚的，我们将对所有特征进行惩罚，并且让代价函数最优化的方法来选择惩罚的程度。这样的结果，就得到了一个较为简单的能够防止过度拟合问题的假设：

其中λ又称为归一化参数(Regularization Parameter)。

这里注意：根据惯例，我们不会对ø0进行惩罚。

经过归一化处理的模型与原模型的对比可能如下图：

如果选择的归一化参数λ过大，就会把所有参数都最小化了，这样导致模型hø(x)=ø0也就是上图中的红色直线的情况，数据就属于低度拟合。

下回我们讨论，线性逻辑模型的归一化和逻辑回归模型的归一化。