Neighbor Embedding： 通过非线性的方法降维，根据在原先空间中数据点与点之间的关系来降维，也叫做Manifold Learning

流形学习(Manifold Learning)

Manifold：高维空间中的低维空间
在欧式空间里面，距离较小的适应，但距离一旦增大就不适应了，如下图：在比较近的点（蓝色）我们可以得到正确结果，但在比较远的点（红色和黄色），欧式空间就会认为红色更近，但从Manifold看来却是黄色更近

所以用Maniflod Learning去做降维，再去计算就会得到好的结果

方法

1. Locally Liner Embedding（LLE）

xi是空间一点，xj是他的临近点，他们之间有关系wij，xi通过wij来表示xj

我们用过最小化这个式子来求出wij

然后我们保持wij不变，找一个zi，就可以得到一个zj，就达到降维的目的。

这个图告诉我们k的值要选对，并不是所有点都有关系，不能过大也不能过小，在这个S的降维中k=8，k=12效果都挺好的

2.Laplacian Eigenmaps

在空间中的两个点的距离关系不能单单只看距离，还要看它们之间有没有high density的关系，所以下面的左图中两个点距离不是按红色虚线，而是按蓝色线进行。

把数据看成果然graph，然后根据graph去降维，首先就是要找graph，半监督已经讲这个L后面会加上一个相当于正则项的S（表示i，j有多相近），用在无监督中，我们已经知道了wij，所以要最小化S

只要将所有点投影到一个点，S就是0，所以对z做一些限制，比如降至z维后，这些点要将z维空间填满。

前面两种方法只能把相近的点归集在一起，但远的点就不能做处理了。

3.t-SNE

t-SNE先定义一个概率分子是i，j的相似度，分母是i跟所有点相似度的和，降维前和降维后的尺度可能不一样，因此进行归一化都转换为几率后规模（scale）就统一了。希望能找到z使得两个分布（xi对于其他点的概率分布和zi 对于其他点的概率分布）越接近越好。

t-SNE –Similarity Measure

如果有很多数据点，t-SNE需要逐个点对其他点的进行运算，similarity运算量较大，因此，一般开始会进行降维。
另外，如果有新的数据点加入，不能直接利用t-SNE进行预测，而是需要重新跑一边所有的数据。因此，t-SNE通常用于visualization，显示高维空间的数据在二维空间上的关系。

降维讲similarity计算使用的式子是：
这里为什么用exp有说过，exp掉得快，距离远的关系就弱。
t-SNE用的是：

做了t-SNE后如果相同的会比较近，而不同的会差比较大（拉大距离）

直接看个例子：