或许在加入continuation之前要先讲讲费这么大劲做这个有什么意义。 毕竟用不用continuation的计算结果都是一样的。 不过，这是一个兴趣使然的系列，学习这些知识应该完全出于好奇与好玩的想法。 所以我才不会告诉你们通过控制continuation可以实现call-with-current-continuation和异常处理等功能呢。

我先简要描述一下加入continuation后解释器是怎么工作的。 加入continuation后的解释器是以迭代的方式工作的。 迭代的状态量有两个，第一个是一个待求值的表达式或者求到的值，第二个是Continuation。 假设解释器的输入是$M$，那么一开始的状态表示为$\left<M, {mt}\right>_v$。 第一个状态量是个表达式$M$，这时解释器开始对$M$求值。 这个过程用记号$\rightarrow_{v}$表示。 这个过程可能会将一些“下一步要做的事”保存到continuation。 求值到最后，状态会变为$\left<V, \kappa\right>_c$（如果没有无限循环）。 注意到下标变成c，$V$是一个值，所以不能再求值了，下一步要做的是从continuation $\kappa$中取出“下一步要做的事”执行。 这个过程也叫做“将continuation $\kappa$应用到值$V$”，用记号$\rightarrow_{c}$表示。 一个解释器的执行过程就是$\rightarrow_{v}$和$\rightarrow_{c}$交替运行，就好像太极里阴阳交替一样。 解释器执行到最后状态会变成$\left<V, {mt}\right>_c$，已求得值$V$，又没有“下一步要做的事”，也就是运行结束了，输出$V$。 说了这么多，本质上整个过程还是一句话：递归转迭代。顺便一提，加入continuation后的解释器叫做CK machine。

先列出目前为止的所有求值过程（call-by-value）： \begin{equation*}\begin{array}{lcl}   eval(X) &=& X \\   eval(b) &=& b \\   eval(\lambda X.M) &=& \lambda X.M \\   eval((+ \; M \; N)) &=& eval(M) + eval(N) \\   eval((- \; M \; N)) &=& eval(M) - eval(N) \\   eval(({iszero} \; M)) &=& {true} \\                  && \text{其中} eval(M) = 0 \\   eval(({iszero} \; M)) &=& {false}, \\                  && \text{其中} eval(M) \neq 0 \\   eval((M \; N)) &=& eval(L[X \leftarrow eval(N)]) \\                  && \text{其中} eval(M) = \lambda X.L \\   eval(({fix} \; X_1 \; X_2 \; M)) &=& \lambda X_2.M[X_1 \leftarrow ({fix} \; X_1 \; X_2 \; M)] \end{array}\end{equation*} 下面分别介绍各个情况下如何加入continuation。

值与fix表达式

值是最简单的情况，直接应用continuation。 \begin{equation*}\begin{array}{lcl}   \left<X, \kappa\right>_v &\rightarrow_v& \left<X, \kappa\right>_c \\   \left<b, \kappa\right>_v &\rightarrow_v& \left<b, \kappa\right>_c \\   \left<\lambda X.M, \kappa\right>_v &\rightarrow_v& \left<\lambda X.M, \kappa\right>_c \\ \end{array}\end{equation*}

fix表达式和值的情况类似： \begin{equation*}\begin{array}{lcl}   \left<({fix} \; X_1 \; X_2 \; M), \kappa\right>_v &\rightarrow_v&     \left<\lambda X_2.M[X_1 \leftarrow ({fix} \; X_1 \; X_2 \; M)], \kappa\right>_c \end{array}\end{equation*}

基本运算

用$(o^n \; M_1 \; M_2 \; ... \; M_n)$表示基本运算，其中$o^n$是运算符，$M_1, ..., M_n$是参数，$n$是代表参数个数。 在我们的语言里目前有两个两参数的基本运算$o^2=\{+, -\}$和一个单参数的基本运算$o^1=\{{iszero}\}$。

计算基本运算前要先对所有参数求值。这里规定从左到右求值。 当解释器在求第$i$个参数$M_i$的值时，需要保存到continuation的数据有： 运算符$o^n$、 已求到的值$V_1, ..., V_{i-1}$（其中$V_1=eval(M), ..., V_{i-1}=eval(M_{i-1})$） 以及还没求值的参数$M_{i+1}, ..., M_n$。 因此，包含基本运算的continuation定义为： \begin{equation*}\begin{array}{lcl}   \kappa &=& {mt} \\          &|& \left<{opd}, \kappa, o^n, (V_1 \; ... \; V_{i-1}), (M_{i+1} \; ... \; M_n)\right> \end{array} \end{equation*}

求值过程为： \begin{equation*}\begin{array}{lcl}   \left<(o^n \; M_1 \; M_2 \; ... \; M_n), \kappa\right>_v &\rightarrow_v&     \left<M_1, \left<{opd}, \kappa, o^n, (M_2 \; ... \; M_n), ()\right>\right>_v \\   \left<V, \left<{opd}, \kappa, o^n, (M_{i+1} \; ... \; M_n), (V_1 \; ... \; V_{i-1})\right>\right>_c &\rightarrow_c&     \left<M_{i+1}, \left<{opd}, \kappa, o^n, (... \; M_n), (V_1 \; ... \; V_{i-1} V)\right>\right>_v \\   \left<V, \left<{opd}, \kappa, o^n, (), (V_1 \; ... \; V_{n-1})\right>\right>_c &\rightarrow_c&     \left<V', \kappa\right>_c \\   && \text{其中} V' = o^n(V_1, ..., V_{n-1}, V) \end{array}\end{equation*}

函数调用

函数调用$(M \; N)$先计算$M$的值，$N$保存到continuation： \begin{equation*}\begin{array}{lcl}   \left<(M \; N), \kappa\right>_v &\rightarrow_v& \left<M, \left<{arg}, \kappa, N\right>\right>_v \end{array}\end{equation*} $M$计算完后从continuation取出$N$计算（我们采用call-by-value的调用方式），同时保存$M$的计算结果$V$： \begin{equation*}\begin{array}{lcl}   \left<V, \left<{arg}, \kappa, N\right>\right>_c &\rightarrow_c& \left<N, \left<{fun}, \kappa, V\right>\right>_v \end{array}\end{equation*} $N$也计算完后，进行$\beta$归约： \begin{equation*}\begin{array}{lcl}   \left<V, \left<{fun}, \kappa, \lambda X.L\right>\right>_c &\rightarrow_c& \left<L[X \leftarrow V], \kappa\right>_v \end{array}\end{equation*} 这个地方很有意思，可以看到函数调用最后$\beta$归约的过程不会使continuation增长。 所有求值过程中，会导致continuation增长的几个过程是基本运算中对参数的计算过程、函数调用中对函数的计算过程以及对参数的计算过程。 一般也认为函数调用中函数的这个位置（也就是$(M \; N)$中$M$这个位置）也算参数位置， 所以判断一个函数调用是不是尾调用的依据是： 这个函数调用表达式是不是在一个参数位置，如果在参数位置，就不是尾调用。

上面分析的求值过程里增加了两种continuation： \begin{equation*}\begin{array}{lcl}   \kappa &=& ... \\          &|& \left<{arg}, \kappa, N\right> \\          &|& \left<{fun}, \kappa, V\right> \end{array} \end{equation*}

代码实现

函数value-of/k是$\rightarrow_v$。 函数apply-cont是$\rightarrow_c$。 编写代码要注意对value-of/和apply-cont的调用都必须是尾调用。

过程$\rightarrow_v$的代码：

出于写起来方便的原因，使用函数来保存continuation。 用(end-cont)表示空的continuation mt。 (end-cont)只有在程序结束的时候才会运行一次。 这里让(end-cont)打印了个">> Done!"，这个打印只会运行一次。 如果打印了超过一次，或者没打印，那么代码肯定有错。

过程$\rightarrow_c$的代码：

寄存器风格的代码实现

这小节换个方式写代码。 求值过程有两个状态量：当前计算的表达式和当前的continuation。 我们用两个全局变量the-exp和the-cont来保存这两个状态量。 使用全局变量后，函数value-of/k和apply-cont就不再需要参数。 另外，还需要一个全局变量来保存下一步是要进行$\rightarrow_v$还是$\rightarrow_c$。 这个全局变量叫the-pc。 这三个全局变量被称作寄存器（所以叫寄存器风格）。 当the-pc的值为逻辑假#f时，解释器运行结束。 现在解释器运行时就是不断的执行the-pc直到the-pc的值是#f。 mainloop是这个主循环的过程：

进入主循环的过程前要先初始化寄存器：

过程value-of/k不再需要参数，用寄存器the-exp代替原来的exp1，the-cont代替原来的cont。 当然还有其他一些修改。代码如下：

过程apply-cont的修改和value-of/k类似。 代码如下：

思考

1. 对宏展开过程translate和替换过程substitute做递归转迭代是否意义不大，为什么？
2. 加入continuation后call-by-name的调用方式下的求值过程和代码实现？