题目

剑指 Offer 10- II. 青蛙跳台阶问题

思路1（递归 / 自顶向下）

这题就是和上一题剑指 Offer 10- I. 斐波那契数列基本一模一样，都是 fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2) 这个递推公式，只是初始条件不一样啦：上一题是 0、1、1、2...，而本题是 1、1、2、3、5...

• 这题是很常见的一道入门递归题，可以采用自顶向下的递归方法，比如我们要求第n个位置的值，根据斐波那契数列的定义fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2)，即等于前一个和前前一个两个的值之和

• 但是如果直接递归，会导致很多重复的计算，效率很低，比如 n 为 5 时：

  1. fib(5) 为 fib(4) 和 fib(3) 两个值之和

  2. 然后 fib(4) 又等于 fib(3) 和 fib(2) 两个值之和。注意， fib(3) 在上一步已经求过了，这里还要再求一次

  3. 另一个 fib(3) 即为 fib(2) 和 fib(1) 两个值之和，同样，fib(2)，也被求过了

  4. ……

     

• 根据上面例子我们可以发现这样子会导致很多多余的计算，做无用功，也会出现由于 n 的增大导致计算量急剧增大。因此我们可以将这个算法优化一下，就是添加一个表格 memory 来记录计算过的值，在每次递归的时候，判断一下之前是否计算过了，如果发现计算过了，直接返回数组中对应的值，否则就计算一下，然后记录到 memory 表格里

代码

class Solution {

    int[] memory;

    public int numWays(int n) {
        memory = new int[n+1];
        return help(n);
    }

    public int help(int n) {
        // 递归结束的条件
        if (n <= 1) {
            return 1;
        }

        // 判断是否计算过了
        if (memory[n] != 0) {
            return memory[n];
        }

        // 没有在 memory 中找到就计算一下，然后在记录到 memory 中
        int i = help(n - 1) + help(n - 2);
        i %= 1000000007;
        memory[n] = i;

        return memory[n];
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：\(O(N)\)
• 空间复杂度：\(O(N)\)

思路2（迭代 / 动态规划）

• 同样，根据斐波那契数列定义，可以发现第 n 个的值为前两个值之和，因此我们可以从第一个开始计算，循环计算到 n就得到了结果，空间上仅仅占两个变量的空间，为 \(O(1)\) ，代码如下：

代码

class Solution {
    public int numWays(int n) {
        if (n <= 1) {
            return 1;
        }

        int a = 1;
        int b = 2;

        for (int i = 2; i < n; i++) {
            int temp = (a + b);
            a = b;
            b = temp;
            b %= 1000000007;
        }

        return b;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：\(O(N)\)
• 空间复杂度：\(O(1)\)