这是一道网上流传的题目，解这道题给了我2个感悟：
第一，看上去简单的事情，往往十分复杂，其复杂程度甚至远远超过了你的想象；
第二，你绝望的时候，不代表没有希望。
希望，往往就在远方，
虽然可能很远，很远。
一、声明
首先声明，这个题目的解是由 Quora 上的作者 Alon Amit 给出的。 这里按照这个思路进行了转译，同时增加了很多内容，其目的是让初级数学水平的人都尽量能够理解。
第一次看到这个题目的时候，我以为是一个小学生题目，甚至以为是幼儿园的智力题。然而当试图算出答案的时候，发现问题不简单。试验了一个又一个数字，得出的结论是这道题大概率没有正整数解。当然这是猜的。最终在网上找到了答案，却惊奇地发现，其中涉及到的数学知识令人发指，这哪里是小学生的题目，用 Alon Amit 的原话说：
大概99.99995%的人解不开这道题，甚至一大帮顶尖学府里的数学家，如果他正好不是数论专家的话，他们也不会做。
Roughly 99.999995% of the people don’t stand a chance at solving it, and that includes a good number of mathematicians at leading universities who just don’t happen to be number theorists.
如果你对数学不感兴趣，你可以直接跳到文章第八段的最后看一眼答案了。
不过如果你感一点兴趣，虽然它很难，但我相信你能看得懂。
二、几个初步结论
书归正传，开始解题。
首先，为了方便，我们把原题描述为下面的形式：
（1）
要求的是a、b、c这3个变量的正整数解（因为苹果凤梨香蕉的个数总不至于为负数嘛，这也符合一般表述的常识）。
注意，从这个式子中我们可以得出几个初步结论：
初步结论一：只要有一个解，就有无穷多个解。
为什么呢？我们在第一个分式的分子和分母同时乘上一个正整数t，可以发现：
那么也就是说，只要(a, b, c)是原来方程的解，那么（7a, 7b, 7c）也必然是这个方程的解（这是t=7的情况，t还可以等于其他正整数）。这样也就等于有了无穷多个解。
初步结论二：如果有解，（a,b,c) 三个未知数的解是对称的。
也就是说调换a、b、c的位置，不影响结果。
这个是显而易见的，如果我们得到一个解（a, b, c) ，那么（b, a ,c)也一定是它的解，（c, b ,a)也一定是它的解。
初步结论三：3个变量中不能有0。
这个我们来证明一下。假设某一个变量是0，不妨是a吧（因为是对称的嘛，谁是0都一样）。那么原式（1）就变成：
这里显然b和c不能再有0了，否则等式没有意义了。
这个方程等同于
这是初中的一元二次方程题目，解出来
很明显，这是无理数，而两个整数b和c相除等于一个有理数，并不是无理数。
所以假设不成立，也就是说a、b、c中任何一个数字都不能为0。
初步结论四：求解（a，b，c）的正整数解，实际是求这三个未知数的正有理数解。
这是因为：有理数都可以表现为分数的形式，如果我们得到a、b、c的正有理数的解，那么我们同时把这3个数字乘以它们的公分母，那么我们就得到了3个整数。根据前面的初步结论一，我们很容易知道，这3个整数就是原方程（1）的解。
好了，研究完一些初步结论，我们来开始解剖原题。如果我们在原方程（1）的两边同时乘以他们的公分母(b+c)(a+b)(a+c)，然后再移项、合并同类项，虽然有点繁琐，但我们可以得到下面这个方程：
（2）
这是与原方程（1）等价的，我们求它的解就可以了。
根据前面的结论四，我们只需要求出他们的有理数解。
麻烦来了，这个方程看起来很复杂，而且几乎无从下手啊。
解高次方程有多难呢？
如果我们碰到一个一次方程，比如，这个非常容易，这个难度打个比方大约相当于一碗水；
如果我们碰到一个二次方程，比如前面碰到的这个，这个也有初等数学的方法去解决，也比较简单，这个难度大约相当于一个小池塘；
但如果我们碰到的是一个3次方程，比如这个样子的，不好意思，你一下子就来到了马里亚纳海沟，你面对的是一个非常深奥的题目，而且这个领域有无穷的问题等着去解决；
如果再高次方，那真是。。。太难了。有兴趣的话去看看费马大定理吧（对，就是那个困扰了人类350多年的超级大难题）。
本题，就是一个三次方的方程。
而且，并不是简单地求解，而是要求出有理数解。
有理数解，是什么意思？怎么个求法？
三、不定方程的基本知识——什么叫特解与通解
求一个方程的有理数解或者整数解，往往是数论方面的题目。而要解出本题，还要用到椭圆曲线。
我们先了解一些简单的数论知识。
打个比方说，我想求出下面这个方程的解：
（3）
你肯定会说，这有无穷多组解啊， x 也好， y 也好，可能是任何数字。
没错。但如果是求整数解呢？似乎也是有无穷多组解。但是，你有没有什么办法把所有的解都描述出来呢？
有的。首先我们可以很容易看出（x=2，y=4）是它的一组解，这个呢，叫做“特解”。当然，特解有很多个。
然后我们利用这个“特解”，我们设计一个式子：
，其中t是任意整数。
我们可以很容易地验证，首先上面这个解是满足方程（3）的，另外我们还可以发现，上面的这个式子也包括了方程（3）的所有整数解，所以这个解就叫做“通解”。
这就是一次不定方程，又叫丢番图方程（Diophantine Equation）。
我们不需要太深入了解数论的知识，只要知道“特解”、“通解”的概念就可以了，并且求取这样方程的“通解”，常常就是从一个“特解”入手的。
刚才解的是一次的丢番图方程，然而我们现在面对的方程（2），是3次的。
四、神奇的“降维”操作——3元变2元，曲面变曲线
不得不说，后面的变化，确实有点复杂，也很有些难度。但总的来说，如果暂时不考虑其“所以然”的话，“知其然”还是大致可以做到的。
在现代数学，有一个分支，叫”代数几何学“（algebraic geometry），注意这个不是中学学习的代数和几何，而是研究的代数和几何之间相互关联对应问题的学科。
其中，就有一个重要的理论，是发现了代数问题在几何上的对应性，从而可以用”几何“的方法来解决”代数“的问题。说得直白一点，就是我们遇到一个无法下手的代数方程的时候，我们或许可以用”几何“的方式来解决。
今天，我们正好碰到的就是这个问题。我们再看一眼方程（2）：
（2）
这是一个有着3个变量的方程。它是3维的，对应的是一个曲面；
现在有一个好消息，就是我们可以通过某一种变换，将其变为一个只有x和y两个变量的方程，一种叫做维尔斯特拉斯典范型（Weierstrass form）的方程，像下面这种形式的：
或是
（注意，此处的a、b、c非方程（2）的变量，这里是方程系数）
并且我们可以描述出（a, b, c） 和（x, y）之间的关系。
，
那么方程（2）就转化成了：
（4）
而方程（2）中的未知数a, b, c则分别为：
（5）
这样的好处呢，是把有a、b、c3个变量的方程，转化成了x、y两个变量的方程。（用专业术语说，其实是把一个三维平面“映射”到了一条二维曲线上）
还有一个重大的好处，就是方程（4）是一个椭圆曲线的方程。
现在的问题转化为：我们只需要解方程（4）的有理数解，然后就可以根据上述公式对应地计算出a、b、c。
你看到这里可能觉得像是在变戏法，但其实真不是。推导的过程非常复杂，这里就暂时不写出来了。好在我们验证它对不对还是比较方便的。
运用一些技巧，我们可以发现（x= -100, y=260）是方程（4）的一个“特解”。虽然这个过程也有点复杂，但好歹我们验证它还是容易的。我们把这两个数代入方程（4），首先发现它是成立的；再代入到上述等式（5），可以求出
，
，
同时乘以14，得到 a=4, b=-1, c=11，代入到，发现果然等于4。
不过这个里面有个负数，肯定是不行的。
那么我们有没有办法通过这样一个“特解”，来找到更多的“特解”呢？如果我们找到更多的特解，会不会最终就能够让a、b、c变为正数呢？
我们试一下吧。
五、双有理等价——通过2个有理数解寻找3次方程的第3个有理数解
我们先来看一下3次方程，如果一个有理数系数的3次方程，我们知道其中的2个有理数解，我们有没有办法找出它的第3个有理数解？
那当然是可以的。假设我有一个3次方程，其中p、q、r都是有理数，我有它的2个有理数解。
那么它一定可以表示为，其中x1、x2、x3，分别是3个方程的根。我在知道x1和x2的情况下，是可以通过用多项式除法来求出x3。怎么个操作法呢？我们来看个例子：
假设我们有这样一个方程，我们知道x1 = 1，以及x2 = 2是它的两个解，那么等号左边实际是包含了（x-1）和（x-2）这两个因式，所以我们用类似除法的方法来计算一下（仅仅用每一项的系数即可）：
等号左边的多项式对应的系数是（1 -6 11 -6），（x-1）对应的系数是（1， -1）
除下来我们就可以得到，继续拿右边括号的多项式除以（x-2）
于是我们得到，这样第三个根就是 x = 3 。
通过上面的操作我们可以看出，所有的操作都是加减乘除的操作，在系数和已知的两个根都是有理数的情况下，在没有无理数参与、也没有开根号、取对数等操作的前提下，这第三个根必然也是有理数。
回到我们的原题。
没错，你一定发现了，我们现在并没有2个根，我们只有一个根（x = -100，y = 260），那怎么办呢？我们可以把它当作是2个根（也就是“重根”，在几何上可以理解为两个点无限接近），然后通过它来找出第三个根。再通过其中两个根，再找出不同的其他根，如此往复。
要理解这个事情，我们得回到图形上来，也就是几何方法。
六、目标函数——椭圆曲线
我们现在要解的是方程（4），我们要找出它的有理数点，并且我们要让a、b、c成为整数，现在我们已知（x = -100, y = 260）是一个特解。
我们先将它画出来，看看是什么样子。由于左边是y2，这个图显然是关于x轴对称的。画出来的图形近看这样的，就像一条小鱼：
不过注意了，这条“鱼”的身体跟尾巴有一点点分离，因为在原点的左边有一小块区域y2为负值，在实数范围内没有意义，所以也就没有y值。
当然这是近看，如果我们拉远一点，发现它更像一个”绳结“：
再远看，其实这个曲线整体是两根“辫子”：
当然这两根“辫子”是伸向了无穷远。
至于这个近看像小鱼、中看像绳结、远看像辫子的曲线为什么叫“椭圆曲线”，这是因为它的一些数学性质跟椭圆、抛物线等曲线有相同的地方，所以一起被归到了椭圆曲线的类别。这是题外话，我们不需要太关注。
七、双有理等价的几何表示
那么我们前面所提到的双有理等价（就是通过2个有理点，寻找第三个有理点），在图形上面是什么意思呢？
我们来看下图：假设P1、P2是曲线上的两个有理点（即横竖坐标都是有理数），我们通过这两点做连线，那么有两种情况，一种是跟这个椭圆曲线相交到了第三点（如图P3)，另一种是比如正好跟y轴平行，因而无论如何也不会跟曲线有第三个交点。后一种情况属于特殊情况，我们只需要适当规避。我们考虑前一种情况，这时注意了：
因为P1（x1, y1） 、P2（x2, y2）是有理点，所以其斜率必然也是有理数。也就是说P1、P2所定义的直线
，其系数都是有理数。
我们将代入到
，整理后我们可以发现，这就是一个关于x的3次方程。而它的三个根就对应于P1、P2、P3的3个横坐标。
既然x1、x2都是有理数，这个方程的系数也都是有理数，根据前面第五块双有理等价的结论，可以断定x3也是有理数，从而y3也是有理数，从而P3也是有理点。
巧妙的是，由于曲线关于x轴的对称性，P3关于x轴的镜像点，必然也是有理点（因为仅仅是y坐标乘以-1）。而在代数几何领域，这个点被称为“P1+P2”。我们首先不用纠结于加法的重新定义。我们只需要知道这个新的有理点意义非凡，因为用这个“P1+P2"点，我们与P1连线的话（图中黄线），我们又得到了一个有理点A！也就是说，我们又找到了一个(x, y)的有理数解，也就是又找到了（a, b, c）的整数解。虽然（a, b, c）中仍然有可能有负数，但只要我们不停地迭代下去，就可能可以找到全部为正数的解！
回到我们的题上来。现在我们只有一个有理点（-100，260），我们将其想象为P1与P2无限接近，产生了“重根”，那么由P1、P2所确定的直线将会是椭圆曲线在该点处的切线，而其切线的斜率将是该处的导数（此处对中学的小朋友可能略微有一些超纲）。我们推导一下这个导数的计算过程：
对两边求导，得到
，进而得到
，这个就是斜率k。
将x=-100，y=260代入，得到斜率。从而经过P点的直线函数为
我们将此y值代入到椭圆曲线中，得到一个看起来有点复杂的方程：
合并同类项，得到这样一个关于x的三次方程：
这个方程的系数看起来有点大，好在我们知道它有两个根都是x=-100，我们运用上面提到的多项式除法，两次除以（x+100）项，最终得到的另一个交点的x值：
代入到直线方程，从而得出该交点为
该点关于X轴的镜像点即为P+P=2P, 其坐标为
，如下图。
我们将得到的x和y值代入上述式（5），计算出a、b、c的值，并乘以它们的公分母，得到的整数值分别为：
a = 9499
b = -8784
c = 5165
经过验算，确实满足
不过，还是有负数！工作还得继续。
下面要做的，是把点P和2P连线，再去寻找3P的有理点，再算出a、b、c，再去检查是否全部正整数。
不过你一定发现，式子越来越复杂，靠手算已经行不通了。
八、寻找终极答案——计算的事情交给PYTHON
用计算机来计算，还是比较方便的。下面是迭代计算的python代码。
"""
Created on Sun Dec 6 13:21:48 2020
@author: jacky
"""
from fractions import Fraction
import math
# 多项式的辗转相除法
def duc(p, poly_nrt):
rv = [1, -p[0]]
if len(poly_nrt) == 4:
result = [1]
result.append(poly_nrt[1] - rv[1])
result.append(poly_nrt[2] - result[1] * rv[1])
result.append(poly_nrt[3] - result[2] * rv[1])
elif len(poly_nrt) == 3:
result = [1]
result.append(poly_nrt[1] - rv[1])
result.append(poly_nrt[2] - result[1] * rv[1])
else:
print('Error! Length of coefficients does not match.')
return(0)
if result[-1] != 0:
print('Error! Result is Wrong.')
return(0)
return result[:-1]
#定义加法
def add(p1, p2):
#如果p1、p2是同一个点，那么该处斜率是该点的导数。如果不是同一个点，那么通过坐标可以计算出斜率
if p1 == p2:
slope = Fraction(1,2) / p1[1] * (3*p1[0]**2 + 218*p1[0] + 224)
else:
slope = Fraction((p2[1] - p1[1]) / (p2[0] - p1[0]))
#Function: y - p1[1] = slope * (x - p1[0])
#直线方程的系数（y = kx + b），k、b即为系数
coe_line = [slope, p1[1] - slope * p1[0]]
#直线方程代入椭圆方程，计算方程系数
coe_ellipse = [1, 109 - coe_line[0] **2, 224 - 2 * coe_line[0] * coe_line[1], -coe_line[1]**2]
res_1 = duc(p1, coe_ellipse)
res_2 = duc(p2, res_1)
x = -res_2[1]
y = (slope * (x +100) +260) * (-1)
return ([x,y])
p1 = [-100, 260]
p2 = [-100, 260]
a=0
b=0
c=0
#循环数
k=2
#寻找到a、b、c全部大于零为止
while not (a>0 and b>0 and c>0):
p2 = add(p1,p2)
x = p2[0]
y = p2[1]
a = Fraction(56-x+y, 56-14*x)
b = Fraction(56-x-y, 56-14*x)
c = Fraction(-28-6*x, 28-7*x)
a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b)
#公分母
common_deno = a.denominator * b.denominator * c.denominator
a = a * common_deno
b = b * common_deno
c = c * common_deno
#分子最大公约数
gcd_numerator = math.gcd(math.gcd(a.numerator, b.numerator), math.gcd(a.numerator, c.numerator))
a = a / gcd_numerator
b = b / gcd_numerator
c = c / gcd_numerator
print('循环数 k = ',k)
print('a = ',a)
print('b = ',b)
print('c = ',c)
print('验算结果：',a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b))
k+=1
得出的结果是这样的：
循环数 k = 2
a = 9499
b = -8784
c = 5165
验算结果： 4
循环数 k = 3
a = 679733219
b = -375326521
c = 883659076
验算结果： 4
循环数 k = 4
a = 6696085890501216
b = -6531563383962071
c = 6334630576523495
验算结果： 4
循环数 k = 5
a = 5824662475191962424632819
b = -2798662276711559924688956
c = 5048384306267455380784631
验算结果： 4
循环数 k = 6
a = 287663048897224554337446918344405429
b = -399866258624438737232493646244383709
c = 434021404091091140782000234591618320
验算结果： 4
循环数 k = 7
a = 3386928246329327259763849184510185031406211324804
b = -678266970930133923578916161648350398206354101381
c = 1637627722378544613543242758851617912968156867151
验算结果： 4
循环数 k = 8
a = 343258303254635343211175484588572430575289938927656972201563791
b = -2054217703980198940765993621567260834791816664149006217306067776
c = 2110760649231325855047088974560468667532616164397520142622104465
验算结果： 4
循环数 k = 9
a = 154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026634898253202035277999
b = 36875131794129999827197811565225474825492979968971970996283137471637224634055579
c = 4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772036
验算结果： 4
当算到9P的时候，所有的a、b、c的结果为正。
至此，我们得到了最终的结果。
不过，a值已经高达80位数（b值79位，c值78位）。80位数是什么概念呢， 就是每8位是1亿，要连续说出9个“亿”字才能表达，亿亿亿亿亿亿亿亿亿。
这个数字大到什么程度呢，就是假如我跟你的距离是1米，那么这个数字所代表的距离在1053个宇宙之外（一个宇宙的直径是930亿光年）。注意，是10的53次方个。
如果不是用数学方法，即使是世界上最快的计算机，也完全不可能用暴力的方法（就是一个数字一个数字地尝试）得到最终的解。
九、进一步的探索
上面所用的方法就叫“弦切法”，好比你绷了一条弦，不停地在曲线上找第三个交点（有理点）。我们从上面的程序结果可以看出，随着过程的推进，a、b、c的数值快速增长，而这个80位数的结果，确实也是最小的结果。
此外，想要3者全部为正也并不是容易的事，这当然是跟x、y的取值有关系的。事实上，只有下图的绿色部分才是a、b、c可以取到正值的位置。看样子，我们能在第8次迭代（9P）的时候进入这个区域还算运气不错了。
你可能会觉得，80位数的结果令人发指。但如果我们把原方程的4替换为178，我们的结果将是几亿位（这意味者屏幕远远不能满足显示需求）；而如果把4替换为896，那么结果将是万亿位的。
我们上面用到的计算椭圆曲线kP的算法，在现代密码学方面有着极其重要的应用（也就是正向的计算很容易，反向的计算非常困难）。椭圆曲线加密算法称为三大加密算法之一，著名的、稳定运行十余年的比特币就是采用的椭圆曲线加密算法。
十、说明及感悟
最后，我想读者中可能还是有不少存疑，即：
1、为什么我们可以在第四部分做那样的变换，把a、b、c的方程变换成了x、y的椭圆曲线？
2、到底通过什么方式找到（-100，260）这个椭圆曲线的特解？
3、为什么我们最终这个80位的解就是最小解？
这些都是本文没有解决的问题。因为这些都是很庞大的问题，本人争取以后能给出容易理解的答案。
但幸好，就本题而言，首先我们找到了解（这是根本性的），其次我们确实了解了整个求解过程，并对其内在逻辑有了全面的认识。
解这个题目，有一种以为到楼下打个酱油，结果却到大海上绕了一圈的感觉，差一点找不到回来的路。
然而数学之美，正在于她以极其精确的方式，告诉了你正确的方向。
最后，恭喜你，你看完了。
Quora上Alon Amit的英文解答链接在此：https://www.quora.com/How-do-you-find-the-positive-integer-solutions-to-frac-x-y+z-+-frac-y-z+x-+-frac-z-x+y-4/answer/Alon-Amit，不过你可能需要一点科学的办法才能打开。
本人才疏学浅，解题中可能有不少不够严谨的地方，欢迎指正。