条件概率

乘法定律

\(P(AB) = P(A|B)P(B)\)

全概率定律

令 \(B_1,\dots B_n\) 满足 \(\cup_{i=1}^nB_i=\Omega,B_i\cap B_j=\emptyset(i\neq j)\)，且 \(\forall i,P(B_i)>0\)，则有 \(\forall A, P(A) = \sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)\)。

贝叶斯公式

有事件 \(A,B_1,\dots, B_n\)，其中 \(\cup_{i=1}^nB_i=\Omega,B_i\cap B_j=\emptyset(i\neq j)\) 且 \(\forall i,P(B_i)>0\)，则有

\[P(B_j|A) = \frac{P(A|B_j)P(B_j)}{\sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)} \]

推导很简单，就是用全概率公式将右式分母换成 \(P(A)\) 即可证明。