并集和交集的性质
性质 1
\(A\subset (A\cup B)\) 且 \(A \supset (A\cap B)\)
证明：
若 \(x\in A\)，则 \(x\in A\) 或 \(x\in B\)，故第一个结果成立。
若 \(x\in (A\cap B)\)，则 \(x\in A\) 且 \(x \in B\)，则 \(x \in A\)，故第二个结果成立。
性质 2
当且仅当 \(A\cup B = B\) 时 \(A\subset B\)
证明：
右到左： 假设 \(A\sub B\)，尝试证明 \(A\cup B\sub B\) 且 \(A\cup B\supset B\)。
由于假设 \(A\sub B\)，那么 \((A\cup B)\sub (B\cup B)\)，即 \(A\cup B\sub B\)；
而 \(A\cup B\supset B\) 是显然成立的。
左到右： 假设 \(A\cup B = B\)，显然 \(A\sub (A\cup B) = B\)。
性质 3
当且仅当 \(A\cap B = A\) 时 \(A\sub B\)
证明：
右到左： 假设 \(A\sub B\)，尝试证明 \(A\cap B\sub A\) 和 \(A\cap B \supset A\)。
\(A\cap B\sub A\) 显然成立；由于 \(A\sub B\)，那么
若有 \(x\in A\)，则 \(x\in B\)，即 \(x\in A\) 且 \(x\in B\)，故 \(A\cap B\supset A\) 成立。
左到右： 假设 \(A\cap B = A\)，显然 \(B\supset (A\cap B)\)，即 \(A\sub B\)。
性质 4
对于任意 \(n\in N\)，有：
\[A\cup(B_1\cap B_2\cap\cdots \cap B_n) = (A\cup B_1)\cap(A\cup B_2)\cap\cdots\cap(A\cup B_n) \]即，并集具有对交集的分配律。
证明：
要证明的东西可以写成：
\[A\cup\left( \bigcap_{i=1}^n B_i \right) = \bigcap_{i=1}^n (A\cup B_i) \]等价于证明：
\[A\cup\left( \bigcap_{i=1}^n B_i \right) \sub \bigcap_{i=1}^n (A\cup B_i) \]和：
\[A\cup\left( \bigcap_{i=1}^n B_i \right) \supset \bigcap_{i=1}^n (A\cup B_i) \]第一个式子：
令 \(x\in A\cup\left( \bigcap_{i=1}^n B_i \right)\)，如果 \(x\in A\)，那么显然对于任意 \(B_i\)，\(x\in (A\cup B_i)\)，那么 \(x\in \bigcap_{i=1}^n (A\cup B_i)\)；如果 \(x\in\left( \bigcap_{i=1}^n B_i \right)\)，那么对于任意 \(B_i\)，\(x\in B_i\)，\(x\in(A\cup B_i)\)，也成立。
第二个式子：
令 \(x\in\bigcap_{i=1}^n (A\cup B_i)\)，那么对于任意 \(i\)，\(x\in(A\cup B_i)\)。
若 \(x\in A\)，那么 \(x\in A\cup\left( \bigcap_{i=1}^n B_i \right)\);
若 \(x\in B_i\)，那么 \(x\in \left( \bigcap_{i=1}^n B_i \right)\)，也成立。
性质 5
\[A\cap\left(\bigcup_{i=1}^n B_i \right) = \bigcup_{i=1}^n(A\cap B_i) \]即交集具有对交集的分配律。
证明：
令 \(x\in A\cap\left(\bigcup_{i=1}^n B_i \right)\)，则 \(x\in A\) 且 \(x\in \left(\bigcup_{i=1}^n B_i \right)\)，故而必然有某个 \(i\) 使得 \(x\in (A\cap B_i)\)，故而 \(x\in \bigcup_{i=1}^n(A\cap B_i)\)，这就证明了\(A\cap\left(\bigcup_{i=1}^n B_i \right) \sub \bigcup_{i=1}^n(A\cap B_i)\)
令 \(x\in \bigcup_{i=1}^n(A\cap B_i)\)，即 \(x\in A\)，而且存在某个 \(i\) 使得 \(x\in B_i\)，故而 \(x\in \left(\bigcup_{i=1}^n B_i \right)\)，故而 \(x\in A\cap\left(\bigcup_{i=1}^n B_i \right)\)，这就证明了 \(A\cap\left(\bigcup_{i=1}^n B_i \right) \supset \bigcup_{i=1}^n(A\cap B_i)\)
德摩根律
在逻辑学中的类似定理
对于两个命题 \(\bf A\) 和 \(\bf B\)，有：
\[\neg({\bf A}\or{\bf B}) \Longleftrightarrow (\neg{\bf A})\and(\neg{\bf B})\\ \neg({\bf A}\and{\bf B}) \Longleftrightarrow (\neg{\bf A})\or(\neg{\bf B}) \]大声读出来就可以明白正确性。
定理本身与对其的证明
令 \(E_{\alpha}\) 表示任意一族集合，令所有 \(E_{\alpha}\) 都是集合 \(X\) 的子集，在下文中以 \(E_{\alpha}^C\) 来表示在 \(X\) 中 \(E_{\alpha}\) 的补集。
定理：
\[\left(\bigcup_{\alpha}E_{\alpha} \right)^C = \bigcap_{\alpha}E_{\alpha}^C\\ \left(\bigcap_{\alpha}E_{\alpha} \right)^C = \bigcup_{\alpha}E_{\alpha}^C \]证明：
以 \(\left(\bigcup_{\alpha}E_{\alpha} \right)^C = \bigcap_{\alpha}E_{\alpha}^C\) 为例，实际上可以用之前无数次证明中所使用的定理 \(A=B\Longleftrightarrow A\sub B\and A\supset B\) 来证明，但也可以使用上文提到的 \(\neg({\bf A}\or{\bf B}) \Longleftrightarrow (\neg{\bf A})\and(\neg{\bf B})\) 来证明，具体过程是：
设命题 \({\bf P}(x,\alpha)\) 表示 \(x\in E_{\alpha}\)，那么 \(x\in\left(\bigcup_{\alpha}E_{\alpha} \right)^C\) 这个命题就等价于 \(\neg \left(\bigvee_{\alpha}{\bf P}(x,\alpha)\right)\)，当然有一些逻辑上的边界需要处理，比如 \(x\notin E_{\alpha}\) 实际上表示 \(x\notin E_{\alpha} \and x\in X\)，但无伤大雅，借此，定理就得证了。