16 归并排序（Merge Sort）

2023-11-10 15:44:34

1 题目
2 思路
3 源码

1 题目

题目：Sort Integer II

lintcode题号——464，难度——easy

描述：给一组整数，请将其在原地按照升序排序。可使用归并排序，快速排序，堆排序或者任何其他O(n*log n)的排序算法。

样例1：

输入：[3,2,1,4,5]，
输出：[1,2,3,4,5]。

样例2：

输入：[2,3,1]，
输出：[1,2,3]。

2 思路

归并排序基于分治法，将复杂的大问题分解成足够简单的小问题，分而治之。先进行分解的步骤，将原本无序的序列至顶向下不断进行二分，直到不可再分，即每个分组都只剩一个元素;之后进行合并的步骤，将分组按照原来拆分的过程，两两合并，在合并的过程中需要按照升序或者降序的需求对元素进行比较，使得合并后的每个小序列都是有序的，直到合并成完整的大序列。

归并排序的步骤：

将序列不断向下二分；

直到不可再分，每个分组只有单个元素；（此时每个分组都是有序的）

将有序分组两两向上合并成有序；（合并两个有序数组）

直到所有分组合并成完整的序列。

关于将两个原本就有序（假设升序）的分组合并成一个完整有序的分组，我们只需要依次比较分组的头元素，每次都将较小的元素有序放入新分组，最后一定有一个分组先放完，另一个分组剩下若干个元素，直接将不为空的分组剩余元素（原本就是有序的）放入新分组，这样新分组里的元素就全部都是有序的了。

合并两个有序数组的步骤：（新数组存放合并后的结果）

比较两个数组的头元素；

将较小的元素从原数组中取出，放入新数组；

重复上述1、2步骤，直到两个数组中的一个为空；

将另一个不为空的数组所有元素放入新数组；

此时的新数组内的元素即为有序的。

2.1 图解

合并两个有序数组的流程：

graph TD A[A--'1, 2, 5, 7' B--'3, 4, 6, 8, 9'] --> X X[/比较头元素'1'和'3', 较小元素放入:C--'1'\] --> A1 A1[A--'_, 2, 5, 7' B--'3, 4, 6, 8, 9'] --> X1 X1[/比较头元素'2'和'3', 较小元素放入:C--'1, 2'\]--> A2 A2[A--'_, _, 5, 7' B--'3, 4, 6, 8, 9'] --> X2 X2[/比较头元素'5'和'3', 较小元素放入:C--'1, 2, 3'\]--> A3 A3[A--'_, _, 5, 7' B--'_, 4, 6, 8, 9'] --> X3 X3[/比较头元素'5'和'4', 较小元素放入:C--'1, 2, 3, 4'\]--> A4 A4[A--'_, _, 5, 7' B--'_, _, 6, 8, 9'] --> X4 X4[/比较头元素'5'和'6', 较小元素放入:C--'1, 2, 3, 4, 5'\]--> A5 A5[A--'_, _, _, 7' B--'_, _, 6, 8, 9'] --> X5 X5[/比较头元素'7'和'6', 较小元素放入:C--'1, 2, 3, 4, 5, 6'\]--> A6 A6[A--'_, _, _, 7' B--'_, _, _, 8, 9'] --> X6 X6[/比较头元素'7'和'8', 较小元素放入:C--'1, 2, 3, 4, 5, 6, 7'\]--> A7 A7[A--'_, _, _, _' B--'_, _, _, 8, 9'] --> X7 X7(A已空, B直接放入:C--'1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9', 有序数组C)

归并排序的流程：

graph TD A1['3, 5, 7, 4, 9, 8, 2, 10, 1, 6'] A1 -- 二分拆分 --> B1['3, 5, 7, 4, 9'] A1 -- 二分拆分 --> B2['8, 2, 10, 1, 6'] B1 -- 拆分 --> C1['3, 5, 7'] B1 -- 拆分 --> C2['4, 9'] B2 -- 拆分 --> C3['8, 2, 10'] B2 -- 拆分 --> C4['1, 6'] C1 -- 拆分 --> D1['3, 5'] C1 -- 拆分 --> D2['7'] C2 -- 拆分 --> D3['4'] C2 -- 拆分 --> D4['9'] C3 -- 拆分 --> D5['8, 2'] C3 -- 拆分 --> D6['10'] C4 -- 拆分 --> D7['1'] C4 -- 拆分 --> D8['6'] D1 -- 拆分 --> E1['3'] D1 -- 拆分 --> E2['5'] D5 -- 拆分 --> E3['8'] D5 -- 拆分 --> E4['2'] E1 -- 合并有序数组 --> F1['3, 5'] E2 -- 合并有序数组 --> F1 E3 -- 合并有序数组 --> F2['2, 8'] E4 -- 合并有序数组 --> F2 F1 -- 合并 --> G1['3, 5, 7'] D2 -- 合并有序数组 --> G1 D3 -- 合并有序数组 --> G2['4, 9'] D4 -- 合并有序数组 --> G2 F2 -- 合并 --> G3['2, 8, 10'] D6 -- 合并有序数组 --> G3 D7 -- 合并有序数组 --> G4['1, 6'] D8 -- 合并有序数组 --> G4 G1 -- 合并有序数组 --> H1['3, 4, 5, 7, 9'] G2 -- 合并有序数组 --> H1 G3 -- 合并 --> H2['1, 2, 6, 8, 10'] G4 -- 合并 --> H2 H1 -- 合并 --> I1['1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10'] H2 -- 合并 --> I1 style E1 fill: #f9f, stroke: #333, stroke-width: 4px; style E2 fill: #f9f, stroke: #333, stroke-width: 4px; style D2 fill: #f9f, stroke: #333, stroke-width: 4px; style D3 fill: #f9f, stroke: #333, stroke-width: 4px; style D4 fill: #f9f, stroke: #333, stroke-width: 4px; style E3 fill: #f9f, stroke: #333, stroke-width: 4px; style E4 fill: #f9f, stroke: #333, stroke-width: 4px; style D6 fill: #f9f, stroke: #333, stroke-width: 4px; style D7 fill: #f9f, stroke: #333, stroke-width: 4px; style D8 fill: #f9f, stroke: #333, stroke-width: 4px;

2.2 时间复杂度

归并排序使用递归实现，对包含n个元素的数组，计算其时间复杂度，先分析拆分过程：

第一层将n个数划分为2个分组，每个分组包含n/2个元素；
第二层将n个数划分为4个分组，每个分组包含n/4个元素；
第三层将n个数划分为8个分组，每个分组包含n/8个元素；
……
第log n层将n个数划分为n个分组，每个分组包含1个元素。

再看合并过程：

第log n层将n分组合并成n/2个分组，每个元素都会被遍历一次，每个元素耗时O(1)，该层耗时O(n)；
……
第3层将8分组合并成4个分组，每个元素都会被遍历一次，每个元素耗时O(1)，该层耗时O(n)；
第2层将4分组合并成2个分组，每个元素都会被遍历一次，每个元素耗时O(1)，该层耗时O(n)；
第1层将2分组合并成1个分组，每个元素都会被遍历一次，每个元素耗时O(1)，该层耗时O(n)；

所以每层耗时为O(n)，层数为log n，算法的时间复杂度为O(n*log n)。

2.3 空间复杂度

算法不能原地排序，需要用到一个与原数组一样大的空间用来存放临时数据，算法的空间复杂度为O(n)。

3 源码

注意事项：

需要使用一个临时数组，存放每次递归过程中合并两个有序数组之后的结果，排序完成再复制会原数组，否则直接原地排序会打乱原数组的元素。
归并排序是递归算法，注意递归的三要素，防止死循环。
合并有序数组时候，需要注意左右两个数组的起点位置。

C++版本：

/**
* @param A: an integer array
* @return: nothing
*/
void sortIntegers2(vector<int> &A) {
    // write your code here
    if (A.size() <= 1)
    {
        return;
    }

    vector<int> temp(A.size());
    mergeSort(A, 0, A.size() - 1, temp);
}

// 递归的定义
void mergeSort(vector<int> & A, int start, int end, vector<int> & temp)
{
    if (start >= end) // 递归的出口
    {
        return;
    }

    int mid = start + (end - start) / 2; // 取中点
    mergeSort(A, start, mid, temp); // 递归的拆解
    mergeSort(A, mid + 1, end, temp);
    merge(A, start, mid, end, temp);
}

// 合并有序数组
void merge(vector<int> & A, int start, int mid, int end, vector<int> & temp)
{
    int left = start;
    int right = mid + 1; // 注意此处的起点是中点的下一个元素
    int index = start;
    while (left <= mid && right <= end)
    {
        if (A.at(left) < A.at(right))
        {
            temp.at(index++) = A.at(left++);
        }
        else
        {
            temp.at(index++) = A.at(right++);
        }
    }

    while (left <= mid)
    {
        temp.at(index++) = A.at(left++);
    }
    while (right <= end)
    {
        temp.at(index++) = A.at(right++);
    }

    // 将临时数组中排好序的元素复制会原数组
    for (int i = start; i <= end; i++)
    {
        A.at(i) = temp.at(i);
    }
}

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