上一篇文章介绍了MDP的基本概念，但是我们更关心的是如何寻找到最佳的路径解决MDP问题。MDP过程中，可以有无数种策略(policy)，找到最佳的路径实际上就是找到最佳的Policy 来最大化V函数(Value Function)或者Q函数(Action-Value Function)。

用数学表达式表达出来就是：

其中加星号* 的v和q表示最优的v和q。

还记得上一篇文章中的那个例子吗？学生学习的的状态有Facebook, Class1, Class2, Pass, Sleep 6个状态(State)，每个状态都有一个或者多个行动(Action)。最优的V函数和Q函数都已求出来了，找到最优策略就是找到最大q*的过程。显然红色的路径就是最优策略，只有沿着这条路径才能的到最大的奖励。

同样的，用Bellman 等式可以得到最优V函数和最优Q函数的关系，以及他们自己的递归关系：

同样的用Bellman等式，我们可以验证为什么V(Pass) = 10.

Pass 这个状态有两个行动，分别为Study和Pub。Study 对应一个状态Sleep，Pub对应三个状态Class1, Class2, 和 Pass。那么假设γ=1

V(Pass) = Max{+10+0，+1+(0.2x6 + 0.48 + 0.410)} = Max{10, 8.6} = 10。

用同样的方法可以验证每一个状态的V函数。

当然我们现在只能验证，无法真正求解最优V函数和Q函数，如果能求解最优Ballman 等式我们就能得到最优的V函数和Q函数进而得到最优的策略。

但是遗憾的是最优Ballman等式并不是线性的，所以不能直接通过解线性方程的方法求得。但是可以通过一些迭代算法求得，之前的Q-Learning和Sarsa 算法就是求最优Ballman等式的算法，当然这些算法也就是强化学习的算法了。

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