二维区域和检索
题目
给定一个二维矩阵，计算其子矩形范围内元素的总和，该子矩阵的左上角为 (row1, col1) ，右下角为 (row2, col2) 。
上图子矩阵左上角 (row1, col1) = (2, 1) ，右下角(row2, col2) = (4, 3)，该子矩形内元素的总和为 8。
示例：
给定 matrix = [
[3, 0, 1, 4, 2],
[5, 6, 3, 2, 1],
[1, 2, 0, 1, 5],
[4, 1, 0, 1, 7],
[1, 0, 3, 0, 5]
]
sumRegion(2, 1, 4, 3) -> 8
sumRegion(1, 1, 2, 2) -> 11
sumRegion(1, 2, 2, 4) -> 12
提示：
你可以假设矩阵不可变。
会多次调用 sumRegion 方法。
你可以假设 row1 ≤ row2 且 col1 ≤ col2 。
思路：类比一维前缀，这里显然是二维的前缀和问题，我们如何求解一个二维的前缀和呢，
下面给出思路：
首先引入二维前缀
比如：我们要求以上矩阵元素的和：
实际上：是由以下关系求出 (o->d 指以o为左上顶点，d为右下顶点 )
S ( o − > d ) = S ( o − > c ) + S ( o − > b ) − S ( o − > a ) + S ( d ) S (o->d)=S (o->c)+S (o->b)-S (o->a)+S(d) S(o−>d)=S(o−>c)+S(o−>b)−S(o−>a)+S(d)
（S (o->a) 是重叠部分，需要减去)
这样，我们就可以由二维前缀算出以（r1,c1）为左上顶点，（r2,c2）为右下顶点的矩阵的和了
(这里的row，col是指下标，对应行列需要+1)
p r e s u m [ r o w 2 + 1 ] [ c o l 2 + 1 ] − p r e s u m [ r o w 1 ] [ c o l 2 + 1 ] − p r e s u m [ r o w 2 + 1 ] [ c o l 1 ] + p r e s u m [ r o w 1 ] [ c o l 1 ] presum[row2+1][col2+1]-presum[row1][col2+1]-presum[row2+1][col1]+presum[row1][col1] presum[row2+1][col2+1]−presum[row1][col2+1]−presum[row2+1][col1]+presum[row1][col1]
二维前缀的模板
int[][] sum = new int[n + 1][m + 1];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
sum[i][j] = sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j - 1] + mat[i - 1][j - 1];
}
}
return presum[row2+1][col2+1]-presum[row1][col2+1]-presum[row2+1][col1]+presum[row1][col1]
题目code
class NumMatrix {
static int[][] presum;
public NumMatrix(int[][] matrix) {
presum=new int[matrix.length+1][matrix[0].length+1];
for(int i=1;i<=matrix.length;i++){
for(int j=1;j<=matrix[0].length;j++){
presum[i][j]=presum[i][j-1]+presum[i-1][j]-presum[i-1][j-1]+matrix[i-1][j-1];
}
}
}
public int sumRegion(int row1, int col1, int row2, int col2) {
return presum[row2+1][col2+1]-presum[row1][col2+1]-presum[row2+1][col1]+presum[row1][col1];
}
}