第八章习题：1，3，4，5，7

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1、

(1) 任取, G,则H=H, 说明存在，H,有=

上式两边左乘，有 =

 再右乘，有=

所以H

(2)有H，存在hH，=h,两边左乘

得=h，所以H=H

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3、如果群H是群G的子群，且[G:H] = 2,请证明gH = Hg。

当gH，由吸收率得gH=Hg=H

当g不属于H，而 [G:H] = 2，所以gH=Hg=G-H

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4、

因为群H是群G的真子群存在群F=G-H，FG

所以2|H|=|G|

但是，群F可能不是一个群，是多个群，所以|H|<=|G|/2

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5、

将G分为：阶为p的H1和阶为p的H2两个子群

因为p为素数，H1是循环群，所以H1的子群都是循环群

同理H2的子群都是子群

因为H1和H2的子群都是G的全部子群

所以G的任意真子群是循环群

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