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初识动态规划：如何巧妙解决“双十一”购物时的凑单问题
淘宝的“双十一”购物节有各种促销活动，比如“满 200 元减 50 元”。假设你女朋友的购物车中有 n 个（n>100）想买的商品，她希望从里面选几个，在凑够满减条件的前提下，让选出来的商品价格总和最大程度地接近满减条件（200 元），这样就可以极大限度地“薅羊毛”。作为程序员的你，能不能编个代码来帮她搞定呢？
要想高效地解决这个问题，就要用到我们今天讲的动态规划（Dynamic Programming）。
动态规划学习路线
动态规划比较适合用来求解最优问题，比如求最大值、最小值等等。它可以非常显著地降低时间复杂度，提高代码的执行效率。不过，它也是出了名的难学。它的主要学习难点跟递归类似，那就是，求解问题的过程不太符合人类常规的思维方式。对于新手来说，要想入门确实不容易。不过，等你掌握了之后，你会发现，实际上并没有想象中那么难。
为了让你更容易理解动态规划，我分了三部分给你讲解。这三节分别是，初识动态规划、动态规划理论、动态规划实战。
第一节，我会通过两个非常经典的动态规划问题模型，向你展示我们为什么需要动态规划，以及动态规划解题方法是如何演化出来的。实际上，你只要掌握了这两个例子的解决思路，对于其他很多动态规划问题，你都可以套用类似的思路来解决。
第二节，我会总结动态规划适合解决的问题的特征，以及动态规划解题思路。除此之外，我还会将贪心、分治、回溯、动态规划这四种算法思想放在一起，对比分析它们各自的特点以及适用的场景。
第三节，我会教你应用第二节讲的动态规划理论知识，实战解决三个非常经典的动态规划问题，加深你对理论的理解。弄懂了这三节中的例子，对于动态规划这个知识点，你就算是入门了。
0-1 背包问题
我在讲贪心算法、回溯算法的时候，多次讲到背包问题。今天，我们依旧拿这个问题来举例。
对于一组不同重量、不可分割的物品，我们需要选择一些装入背包，在满足背包最大重量限制的前提下，背包中物品总重量的最大值是多少呢？
关于这个问题，我们上一节讲了回溯的解决方法，也就是穷举搜索所有可能的装法，然后找出满足条件的最大值。不过，回溯算法的复杂度比较高，是指数级别的。那有没有什么规律，可以有效降低时间复杂度呢？我们一起来看看。
// 回溯算法实现。注意：我把输入的变量都定义成了成员变量。
private int maxW = Integer.MIN_VALUE; // 结果放到maxW中
private int[] weight = {2，2，4，6，3}; // 物品重量
private int n = 5; // 物品个数
private int w = 9; // 背包承受的最大重量
public void f(int i, int cw) { // 调用f(0, 0)
if (cw == w || i == n) { // cw==w表示装满了，i==n表示物品都考察完了
if (cw > maxW) maxW = cw;
return;
}
f(i+1, cw); // 选择不装第i个物品
if (cw + weight[i] <= w) {
f(i+1,cw + weight[i]); // 选择装第i个物品
}
}
规律是不是不好找？那我们就举个例子、画个图看看。我们假设背包的最大承载重量是 9。我们有 5 个不同的物品，每个物品的重量分别是 2，2，4，6，3。如果我们把这个例子的回溯求解过程，用递归树画出来，就是下面这个样子：
递归树中的每个节点表示一种状态，我们用（i, cw）来表示。其中，i 表示将要决策第几个物品是否装入背包，cw 表示当前背包中物品的总重量。比如，（2，2）表示我们将要决策第 2 个物品是否装入背包，在决策前，背包中物品的总重量是 2。
从递归树中，你应该能会发现，有些子问题的求解是重复的，比如图中 f(2, 2) 和 f(3,4) 都被重复计算了两次。我们可以借助递归那一节讲的“备忘录”的解决方式，记录已经计算好的 f(i, cw)，当再次计算到重复的 f(i, cw) 的时候，可以直接从备忘录中取出来用，就不用再递归计算了，这样就可以避免冗余计算。
private int maxW = Integer.MIN_VALUE; // 结果放到maxW中
private int[] weight = {2，2，4，6，3}; // 物品重量
private int n = 5; // 物品个数
private int w = 9; // 背包承受的最大重量
private boolean[][] mem = new boolean[5][10]; // 备忘录，默认值false
public void f(int i, int cw) { // 调用f(0, 0)
if (cw == w || i == n) { // cw==w表示装满了，i==n表示物品都考察完了
if (cw > maxW) maxW = cw;
return;
}
if (mem[i][cw]) return; // 重复状态
mem[i][cw] = true; // 记录(i, cw)这个状态
f(i+1, cw); // 选择不装第i个物品
if (cw + weight[i] <= w) {
f(i+1,cw + weight[i]); // 选择装第i个物品
}
}
这种解决方法非常好。实际上，它已经跟动态规划的执行效率基本上没有差别。但是，多一种方法就多一种解决思路，我们现在来看看动态规划是怎么做的。
我们把整个求解过程分为 n 个阶段，每个阶段会决策一个物品是否放到背包中。每个物品决策（放入或者不放入背包）完之后，背包中的物品的重量会有多种情况，也就是说，会达到多种不同的状态，对应到递归树中，就是有很多不同的节点。
我们把每一层重复的状态（节点）合并，只记录不同的状态，然后基于上一层的状态集合，来推导下一层的状态集合。我们可以通过合并每一层重复的状态，这样就保证每一层不同状态的个数都不会超过 w 个（w 表示背包的承载重量），也就是例子中的 9。于是，我们就成功避免了每层状态个数的指数级增长。
我们用一个二维数组 states[n][w+1]，来记录每层可以达到的不同状态。
第 0 个（下标从 0 开始编号）物品的重量是 2，要么装入背包，要么不装入背包，决策完之后，会对应背包的两种状态，背包中物品的总重量是 0 或者 2。我们用 states[0] [0]=true 和 states[0] [2]=true 来表示这两种状态。
第 1 个物品的重量也是 2，基于之前的背包状态，在这个物品决策完之后，不同的状态有 3 个，背包中物品总重量分别是 0(0+0)，2(0+2 or 2+0)，4(2+2)。我们用 states[1] [0]=true，states[1] [2]=true，states[1] [4]=true 来表示这三种状态。
以此类推，直到考察完所有的物品后，整个 states 状态数组就都计算好了。我把整个计算的过程画了出来，你可以看看。图中 0 表示 false，1 表示 true。我们只需要在最后一层，找一个值为 true 的最接近 w（这里是 9）的值，就是背包中物品总重量的最大值。
文字描述可能还不够清楚。你可以结合代码着一块看下。
//weight:物品重量，n:物品个数，w:背包可承载重量
public int knapsack(int[] weight, int n, int w) {
boolean[][] states = new boolean[n][w+1]; // 默认值false
states[0][0] = true; // 第一行的数据要特殊处理，可以利用哨兵优化
if (weight[0] <= w) {
states[0][weight[0]] = true;
}
for (int i = 1; i < n; ++i) { // 动态规划状态转移
for (int j = 0; j <= w; ++j) {// 不把第i个物品放入背包
if (states[i-1][j] == true) states[i][j] = states[i-1][j];
}
for (int j = 0; j <= w-weight[i]; ++j) {//把第i个物品放入背包
if (states[i-1][j]==true) states[i][j+weight[i]] = true;
}
}
for (int i = w; i >= 0; --i) { // 输出结果
if (states[n-1][i] == true) return i;
}
return 0;
}
实际上，这就是一种用动态规划解决问题的思路。我们把问题分解为多个阶段，每个阶段对应一个决策。我们记录每一个阶段可达的状态集合（去掉重复的），然后通过当前阶段的状态集合，来推导下一个阶段的状态集合，动态地往前推进。这也是动态规划这个名字的由来，你可以自己体会一下，是不是还挺形象的？
前面我们讲到，用回溯算法解决这个问题的时间复杂度 O(2^n)，是指数级的。那动态规划解决方案的时间复杂度是多少呢？我来分析一下。
这个代码的时间复杂度非常好分析，耗时最多的部分就是代码中的两层 for 循环，所以时间复杂度是 O(n * w)。n 表示物品个数，w 表示背包可以承载的总重量。
从理论上讲，指数级的时间复杂度肯定要比 O(n * w) 高很多，但是为了让你有更加深刻的感受，我来举一个例子给你比较一下。
我们假设有 10000 个物品，重量分布在 1 到 15000 之间，背包可以承载的总重量是 30000。如果我们用回溯算法解决，用具体的数值表示出时间复杂度，就是 210000，这是一个相当大的一个数字。如果我们用动态规划解决，用具体的数值表示出时间复杂度，就是 10000 * 30000。虽然看起来也很大，但是和 210000 比起来，要小太多了。
尽管动态规划的执行效率比较高，但是就刚刚的代码实现来说，我们需要额外申请一个 n 乘以 w+1 的二维数组，对空间的消耗比较多。所以，有时候，我们会说，动态规划是一种空间换时间的解决思路。你可能要问了，有什么办法可以降低空间消耗吗？
实际上，我们只需要一个大小为 w+1 的一维数组就可以解决这个问题。动态规划状态转移的过程，都可以基于这个一维数组来操作，只需要根据前一组各个物品的状态就可以判断出当前各个物品的状态，完成动态规划。具体的代码实现我贴在这里，你可以仔细看下。
public static int knapsack2(int[] items, int n, int w) {
boolean[] states = new boolean[w+1]; // 默认值false
states[0] = true; // 第一行的数据要特殊处理，可以利用哨兵优化
if (items[0] <= w) {
states[items[0]] = true;
}
for (int i = 1; i < n; ++i) { // 动态规划
for (int j = w-items[i]; j >= 0; --j) {//把第i个物品放入背包
if (states[j]==true) states[j+items[i]] = true;
}
}
for (int i = w; i >= 0; --i) { // 输出结果
if (states[i] == true) return i;
}
return 0;
}
这里我特别强调一下代码中的第 8 行，j 需要从大到小来处理。如果我们按照 j 从小到大处理的话，会出现 for 循环重复计算的问题。你可以自己想一想，这里我就不详细说了。
0-1 背包问题升级版
我们继续升级难度。我改造了一下刚刚的背包问题。你看这个问题又该如何用动态规划解决？
我们刚刚讲的背包问题，只涉及背包重量和物品重量。我们现在引入物品价值这一变量。对于一组不同重量、不同价值、不可分割的物品，我们选择将某些物品装入背包，在满足背包最大重量限制的前提下，背包中可装入物品的总价值最大是多少呢？
这个问题依旧可以用回溯算法来解决。这个问题并不复杂，所以具体的实现思路，我就不用文字描述了，直接给你看代码。
private int maxV = Integer.MIN_VALUE; // 结果放到maxV中
private int[] items = {2，2，4，6，3}; // 物品的重量
private int[] value = {3，4，8，9，6}; // 物品的价值
private int n = 5; // 物品个数
private int w = 9; // 背包承受的最大重量
public void f(int i, int cw, int cv) { // 调用f(0, 0, 0)
if (cw == w || i == n) { // cw==w表示装满了，i==n表示物品都考察完了
if (cv > maxV) maxV = cv;
return;
}
f(i+1, cw, cv); // 选择不装第i个物品
if (cw + weight[i] <= w) {
f(i+1,cw+weight[i], cv+value[i]); // 选择装第i个物品
}
}
针对上面的代码，我们还是照例画出递归树。在递归树中，每个节点表示一个状态。现在我们需要 3 个变量（i, cw, cv）来表示一个状态。其中，i 表示即将要决策第 i 个物品是否装入背包，cw 表示当前背包中物品的总重量，cv 表示当前背包中物品的总价值。
我们发现，在递归树中，有几个节点的 i 和 cw 是完全相同的，比如 f(2,2,4) 和 f(2,2,3)。在背包中物品总重量一样的情况下，f(2,2,4) 这种状态对应的物品总价值更大，我们可以舍弃 f(2,2,3) 这种状态，只需要沿着 f(2,2,4) 这条决策路线继续往下决策就可以。
也就是说，对于 (i, cw) 相同的不同状态，那我们只需要保留 cv 值最大的那个，继续递归处理，其他状态不予考虑。
思路说完了，但是代码如何实现呢？如果用回溯算法，这个问题就没法再用“备忘录”解决了。所以，我们就需要换一种思路，看看动态规划是不是更容易解决这个问题？
我们还是把整个求解过程分为 n 个阶段，每个阶段会决策一个物品是否放到背包中。每个阶段决策完之后，背包中的物品的总重量以及总价值，会有多种情况，也就是会达到多种不同的状态。
我们用一个二维数组 states[n] [w+1]，来记录每层可以达到的不同状态。不过这里数组存储的值不再是 boolean 类型的了，而是当前状态对应的最大总价值。我们把每一层中 (i, cw) 重复的状态（节点）合并，只记录 cv 值最大的那个状态，然后基于这些状态来推导下一层的状态。
我们把这个动态规划的过程翻译成代码，就是下面这个样子：
public static int knapsack3(int[] weight, int[] value, int n, int w) {
int[][] states = new int[n][w+1];
for (int i = 0; i < n; ++i) { // 初始化states
for (int j = 0; j < w+1; ++j) {
states[i][j] = -1;
}
}
states[0][0] = 0;
if (weight[0] <= w) {
states[0][weight[0]] = value[0];
}
for (int i = 1; i < n; ++i) { //动态规划，状态转移
for (int j = 0; j <= w; ++j) { // 不选择第i个物品
if (states[i-1][j] >= 0) states[i][j] = states[i-1][j];
}
for (int j = 0; j <= w-weight[i]; ++j) { // 选择第i个物品
if (states[i-1][j] >= 0) {
int v = states[i-1][j] + value[i];
if (v > states[i][j+weight[i]]) {
states[i][j+weight[i]] = v;
}
}
}
}
// 找出最大值
int maxvalue = -1;
for (int j = 0; j <= w; ++j) {
if (states[n-1][j] > maxvalue) maxvalue = states[n-1][j];
}
return maxvalue;
}
关于这个问题的时间、空间复杂度的分析，跟上一个例子大同小异，所以我就不赘述了。我直接给出答案，时间复杂度是 O(n * w)，空间复杂度也是 O(n * w)。跟上一个例子类似，空间复杂度也是可以优化的，你可以自己写一下。
解答开篇
掌握了今天讲的两个问题之后，你是不是觉得，开篇的问题很简单？
对于这个问题，你当然可以利用回溯算法，穷举所有的排列组合，看大于等于 200 并且最接近 200 的组合是哪一个？但是，这样效率太低了点，时间复杂度非常高，是指数级的。当 n 很大的时候，可能“双十一”已经结束了，你的代码还没有运行出结果，这显然会让你在女朋友心中的形象大大减分。
实际上，它跟第一个例子中讲的 0-1 背包问题很像，只不过是把“重量”换成了“价格”而已。购物车中有 n 个商品。我们针对每个商品都决策是否购买。每次决策之后，对应不同的状态集合。我们还是用一个二维数组 states[n][x]，来记录每次决策之后所有可达的状态。不过，这里的 x 值是多少呢？
0-1 背包问题中，我们找的是小于等于 w 的最大值，x 就是背包的最大承载重量 w+1。对于这个问题来说，我们要找的是大于等于 200（满减条件）的值中最小的，所以就不能设置为 200 加 1 了。就这个实际的问题而言，如果要购买的物品的总价格超过 200 太多，比如 1000，那这个羊毛“薅”得就没有太大意义了。所以，我们可以限定 x 值为 1001。
不过，这个问题不仅要求大于等于 200 的总价格中的最小的，我们还要找出这个最小总价格对应都要购买哪些商品。实际上，我们可以利用 states 数组，倒推出这个被选择的商品序列。我先把代码写出来，待会再照着代码给你解释。
// items商品价格，n商品个数, w表示满减条件，比如200
public static void double11advance(int[] items, int n, int w) {
boolean[][] states = new boolean[n][3*w+1];//超过3倍就没有薅羊毛的价值了
states[0][0] = true; // 第一行的数据要特殊处理
if (items[0] <= 3*w) {
states[0][items[0]] = true;
}
for (int i = 1; i < n; ++i) { // 动态规划
for (int j = 0; j <= 3*w; ++j) {// 不购买第i个商品
if (states[i-1][j] == true) states[i][j] = states[i-1][j];
}
for (int j = 0; j <= 3*w-items[i]; ++j) {//购买第i个商品
if (states[i-1][j]==true) states[i][j+items[i]] = true;
}
}
int j;
for (j = w; j < 3*w+1; ++j) {
if (states[n-1][j] == true) break; // 输出结果大于等于w的最小值
}
if (j == 3*w+1) return; // 没有可行解
for (int i = n-1; i >= 1; --i) { // i表示二维数组中的行，j表示列
if(j-items[i] >= 0 && states[i-1][j-items[i]] == true) {
System.out.print(items[i] + " "); // 购买这个商品
j = j - items[i];
} // else 没有购买这个商品，j不变。
}
if (j != 0) System.out.print(items[0]);
}
代码的前半部分跟 0-1 背包问题没有什么不同，我们着重看后半部分，看它是如何打印出选择购买哪些商品的。
状态 (i, j) 只有可能从 (i-1, j) 或者 (i-1, j-value[i]) 两个状态推导过来。所以，我们就检查这两个状态是否是可达的，也就是 states[i-1] [j]或者 states[i-1] [j-value[i]]是否是 true。
如果 states[i-1] [j]可达，就说明我们没有选择购买第 i 个商品，如果 states[i-1] [j-value[i]]可达，那就说明我们选择了购买第 i 个商品。我们从中选择一个可达的状态（如果两个都可达，就随意选择一个），然后，继续迭代地考察其他商品是否有选择购买。
内容小结
动态规划的第一节到此就讲完了。内容比较多，你可能需要多一点时间来消化。为了帮助你有的放矢地学习，我来强调一下，今天你应该掌握的重点内容。
今天的内容不涉及动态规划的理论，我通过两个例子，给你展示了动态规划是如何解决问题的，并且一点一点详细给你讲解了动态规划解决问题的思路。这两个例子都是非常经典的动态规划问题，只要你真正搞懂这两个问题，基本上动态规划已经入门一半了。所以，你要多花点时间，真正弄懂这两个问题。
从例子中，你应该能发现，大部分动态规划能解决的问题，都可以通过回溯算法来解决，只不过回溯算法解决起来效率比较低，时间复杂度是指数级的。动态规划算法，在执行效率方面，要高很多。尽管执行效率提高了，但是动态规划的空间复杂度也提高了，所以，很多时候，我们会说，动态规划是一种空间换时间的算法思想。
我前面也说了，今天的内容并不涉及理论的知识。这两个例子的分析过程，我并没有涉及任何高深的理论方面的东西。而且，我个人觉得，贪心、分治、回溯、动态规划，这四个算法思想有关的理论知识，大部分都是“后验性”的，也就是说，在解决问题的过程中，我们往往是先想到如何用某个算法思想解决问题，然后才用算法理论知识，去验证这个算法思想解决问题的正确性。所以，你大可不必过于急于寻求动态规划的理论知识。
动态规划理论：一篇文章带你彻底搞懂最优子结构、无后效性和重复子问题
上一节，我通过两个非常经典的问题，向你展示了用动态规划解决问题的过程。现在你对动态规划应该有了一个初步的认识。
今天，我主要讲动态规划的一些理论知识。学完这节内容，可以帮你解决这样几个问题：什么样的问题可以用动态规划解决？解决动态规划问题的一般思考过程是什么样的？贪心、分治、回溯、动态规划这四种算法思想又有什么区别和联系？
理论的东西都比较抽象，不过你不用担心，我会结合具体的例子来讲解，争取让你这次就能真正理解这些知识点，也为后面的应用和实战做好准备。
“一个模型三个特征”理论讲解
什么样的问题适合用动态规划来解决呢？换句话说，动态规划能解决的问题有什么规律可循呢？实际上，动态规划作为一个非常成熟的算法思想，很多人对此已经做了非常全面的总结。我把这部分理论总结为“一个模型三个特征”。
首先，我们来看，什么是“一个模型”？它指的是动态规划适合解决的问题的模型。我把这个模型定义为“多阶段决策最优解模型”。下面我具体来给你讲讲。
我们一般是用动态规划来解决最优问题。而解决问题的过程，需要经历多个决策阶段。每个决策阶段都对应着一组状态。然后我们寻找一组决策序列，经过这组决策序列，能够产生最终期望求解的最优值。
现在，我们再来看，什么是“三个特征”？它们分别是最优子结构、无后效性和重复子问题。这三个概念比较抽象，我来逐一详细解释一下。
1. 最优子结构
最优子结构指的是，问题的最优解包含子问题的最优解。反过来说就是，我们可以通过子问题的最优解，推导出问题的最优解。如果我们把最优子结构，对应到我们前面定义的动态规划问题模型上，那我们也可以理解为，后面阶段的状态可以通过前面阶段的状态推导出来。
2. 无后效性
无后效性有两层含义，第一层含义是，在推导后面阶段的状态的时候，我们只关心前面阶段的状态值，不关心这个状态是怎么一步一步推导出来的。第二层含义是，某阶段状态一旦确定，就不受之后阶段的决策影响。无后效性是一个非常“宽松”的要求。只要满足前面提到的动态规划问题模型，其实基本上都会满足无后效性。
3. 重复子问题
这个概念比较好理解。前面一节，我已经多次提过。如果用一句话概括一下，那就是，不同的决策序列，到达某个相同的阶段时，可能会产生重复的状态。
“一个模型三个特征”实例剖析
“一个模型三个特征”这部分是理论知识，比较抽象，你看了之后可能还是有点懵，有种似懂非懂的感觉，没关系，这个很正常。接下来，我结合一个具体的动态规划问题，来给你详细解释。
假设我们有一个 n 乘以 n 的矩阵 w[n][n]。矩阵存储的都是正整数。棋子起始位置在左上角，终止位置在右下角。我们将棋子从左上角移动到右下角。每次只能向右或者向下移动一位。从左上角到右下角，会有很多不同的路径可以走。我们把每条路径经过的数字加起来看作路径的长度。那从左上角移动到右下角的最短路径长度是多少呢？
我们先看看，这个问题是否符合“一个模型”？
从 (0, 0) 走到 (n-1, n-1)，总共要走 2 * (n-1) 步，也就对应着 2 * (n-1) 个阶段。每个阶段都有向右走或者向下走两种决策，并且每个阶段都会对应一个状态集合。
我们把状态定义为 min_dist(i, j)，其中 i 表示行，j 表示列。min_dist 表达式的值表示从 (0, 0) 到达 (i, j) 的最短路径长度。所以，这个问题是一个多阶段决策最优解问题，符合动态规划的模型。
我们再来看，这个问题是否符合“三个特征”？
我们可以用回溯算法来解决这个问题。如果你自己写一下代码，画一下递归树，就会发现，递归树中有重复的节点。重复的节点表示，从左上角到节点对应的位置，有多种路线，这也能说明这个问题中存在重复子问题。
如果我们走到 (i, j) 这个位置，我们只能通过 (i-1, j)，(i, j-1) 这两个位置移动过来，也就是说，我们想要计算 (i, j) 位置对应的状态，只需要关心 (i-1, j)，(i, j-1) 两个位置对应的状态，并不关心棋子是通过什么样的路线到达这两个位置的。而且，我们仅仅允许往下和往右移动，不允许后退，所以，前面阶段的状态确定之后，不会被后面阶段的决策所改变，所以，这个问题符合“无后效性”这一特征。
刚刚定义状态的时候，我们把从起始位置 (0, 0) 到 (i, j) 的最小路径，记作 min_dist(i, j)。因为我们只能往右或往下移动，所以，我们只有可能从 (i, j-1) 或者 (i-1, j) 两个位置到达 (i, j)。也就是说，到达 (i, j) 的最短路径要么经过 (i, j-1)，要么经过 (i-1, j)，而且到达 (i, j) 的最短路径肯定包含到达这两个位置的最短路径之一。换句话说就是，min_dist(i, j) 可以通过 min_dist(i, j-1) 和 min_dist(i-1, j) 两个状态推导出来。这就说明，这个问题符合“最优子结构”。
min_dist(i, j) = w[i][j] + min(min_dist(i, j-1), min_dist(i-1, j))
两种动态规划解题思路总结
刚刚我讲了，如何鉴别一个问题是否可以用动态规划来解决。现在，我再总结一下，动态规划解题的一般思路，让你面对动态规划问题的时候，能够有章可循，不至于束手无策。
我个人觉得，解决动态规划问题，一般有两种思路。我把它们分别叫作，状态转移表法和状态转移方程法。
1. 状态转移表法
一般能用动态规划解决的问题，都可以使用回溯算法的暴力搜索解决。所以，当我们拿到问题的时候，我们可以先用简单的回溯算法解决，然后定义状态，每个状态表示一个节点，然后对应画出递归树。从递归树中，我们很容易可以看出来，是否存在重复子问题，以及重复子问题是如何产生的。以此来寻找规律，看是否能用动态规划解决。
找到重复子问题之后，接下来，我们有两种处理思路，第一种是直接用**回溯加“备忘录”**的方法，来避免重复子问题。从执行效率上来讲，这跟动态规划的解决思路没有差别。第二种是使用动态规划的解决方法，状态转移表法。第一种思路，我就不讲了，你可以看看上一节的两个例子。我们重点来看状态转移表法是如何工作的。
我们先画出一个状态表。状态表一般都是二维的，所以你可以把它想象成二维数组。其中，每个状态包含三个变量，行、列、数组值。我们根据决策的先后过程，从前往后，根据递推关系，分阶段填充状态表中的每个状态。最后，我们将这个递推填表的过程，翻译成代码，就是动态规划代码了。
尽管大部分状态表都是二维的，但是如果问题的状态比较复杂，需要很多变量来表示，那对应的状态表可能就是高维的，比如三维、四维。那这个时候，我们就不适合用状态转移表法来解决了。一方面是因为高维状态转移表不好画图表示，另一方面是因为人脑确实很不擅长思考高维的东西。
现在，我们来看一下，如何套用这个状态转移表法，来解决之前那个矩阵最短路径的问题？
从起点到终点，我们有很多种不同的走法。我们可以穷举所有走法，然后对比找出一个最短走法。不过如何才能无重复又不遗漏地穷举出所有走法呢？我们可以用回溯算法这个比较有规律的穷举算法。
回溯算法的代码实现如下所示。代码很短，而且我前面也分析过很多回溯算法的例题，这里我就不多做解释了，你自己来看看。
private int minDist = Integer.MAX_VALUE; // 全局变量或者成员变量
// 调用方式：minDistBacktracing(0, 0, 0, w, n);
public void minDistBT(int i, int j, int dist, int[][] w, int n) {
// 到达了n-1, n-1这个位置了，这里看着有点奇怪哈，你自己举个例子看下
if (i == n && j == n) {
if (dist < minDist) minDist = dist;
return;
}
if (i < n) { // 往下走，更新i=i+1, j=j
minDistBT(i + 1, j, dist+w[i][j], w, n);
}
if (j < n) { // 往右走，更新i=i, j=j+1
minDistBT(i, j+1, dist+w[i][j], w, n);
}
}
有了回溯代码之后，接下来，我们要画出递归树，以此来寻找重复子问题。在递归树中，一个状态（也就是一个节点）包含三个变量 (i, j, dist)，其中 i，j 分别表示行和列，dist 表示从起点到达 (i, j) 的路径长度。从图中，我们看出，尽管 (i, j, dist) 不存在重复的，但是 (i, j) 重复的有很多。对于 (i, j) 重复的节点，我们只需要选择 dist 最小的节点，继续递归求解，其他节点就可以舍弃了。
既然存在重复子问题，我们就可以尝试看下，是否可以用动态规划来解决呢？
我们画出一个二维状态表，表中的行、列表示棋子所在的位置，表中的数值表示从起点到这个位置的最短路径。我们按照决策过程，通过不断状态递推演进，将状态表填好。为了方便代码实现，我们按行来进行依次填充。
弄懂了填表的过程，代码实现就简单多了。我们将上面的过程，翻译成代码，就是下面这个样子。结合着代码、图和文字描述，应该更容易理解我讲的内容。
public int minDistDP(int[][] matrix, int n) {
int[][] states = new int[n][n];
int sum = 0;
for (int j = 0; j < n; ++j) { // 初始化states的第一行数据
sum += matrix[0][j];
states[0][j] = sum;
}
sum = 0;
for (int i = 0; i < n; ++i) { // 初始化states的第一列数据
sum += matrix[i][0];
states[i][0] = sum;
}
for (int i = 1; i < n; ++i) {
for (int j = 1; j < n; ++j) {
states[i][j] =
matrix[i][j] + Math.min(states[i][j-1], states[i-1][j]);
}
}
return states[n-1][n-1];
}
2. 状态转移方程法
状态转移方程法有点类似递归的解题思路。我们需要分析，某个问题如何通过子问题来递归求解，也就是所谓的最优子结构。根据最优子结构，写出递归公式，也就是所谓的状态转移方程。有了状态转移方程，代码实现就非常简单了。一般情况下，我们有两种代码实现方法，一种是递归加“备忘录”，另一种是迭代递推。
我们还是拿刚才的例子来举例。最优子结构前面已经分析过了，你可以回过头去再看下。为了方便你查看，我把状态转移方程放到这里。
min_dist(i, j) = w[i] [j] + min(min_dist(i, j-1), min_dist(i-1, j))
这里我强调一下，状态转移方程是解决动态规划的关键。如果我们能写出状态转移方程，那动态规划问题基本上就解决一大半了，而翻译成代码非常简单。但是很多动态规划问题的状态本身就不好定义，状态转移方程也就更不好想到。
下面我用递归加“备忘录”的方式，将状态转移方程翻译成来代码，你可以看看。对于另一种实现方式，跟状态转移表法的代码实现是一样的，只是思路不同。
private int[][] matrix =
{{1，3，5，9}, {2，1，3，4}，{5，2，6，7}，{6，8，4，3}};
private int n = 4;
private int[][] mem = new int[4][4];
public int minDist(int i, int j) { // 调用minDist(n-1, n-1);
if (i == 0 && j == 0) return matrix[0][0];
if (mem[i][j] > 0) return mem[i][j];
int minLeft = Integer.MAX_VALUE;
if (j-1 >= 0) {
minLeft = minDist(i, j-1);
}
int minUp = Integer.MAX_VALUE;
if (i-1 >= 0) {
minUp = minDist(i-1, j);
}
int currMinDist = matrix[i][j] + Math.min(minLeft, minUp);
mem[i][j] = currMinDist;
return currMinDist;
}
两种动态规划解题思路到这里就讲完了。我要强调一点，不是每个问题都同时适合这两种解题思路。有的问题可能用第一种思路更清晰，而有的问题可能用第二种思路更清晰，所以，你要结合具体的题目来看，到底选择用哪种解题思路。
四种算法思想比较分析
到今天为止，我们已经学习了四种算法思想，贪心、分治、回溯和动态规划。今天的内容主要讲些理论知识，我正好一块儿也分析一下这四种算法，看看它们之间有什么区别和联系。
如果我们将这四种算法思想分一下类，那贪心、回溯、动态规划可以归为一类，而分治单独可以作为一类，因为它跟其他三个都不大一样。为什么这么说呢？前三个算法解决问题的模型，都可以抽象成我们今天讲的那个多阶段决策最优解模型，而分治算法解决的问题尽管大部分也是最优解问题，但是，大部分都不能抽象成多阶段决策模型。
分治算法与动态规划的重要区别才是有无重复子问题，重复子问题就是说其中的子问题处理过程会被执行多次。分治算法要求分割成的子问题，不能有重复子问题；而动态规划正好相反，动态规划就是来解决因为回溯算法实现中存在大量的重复子问题重复求解而带来的效率低下的问题的，这也是动态规划之所以高效的原因。
回溯算法是个“万金油”。基本上能用的动态规划、贪心解决的问题，我们都可以用回溯算法解决。回溯算法相当于穷举搜索。穷举所有的情况，然后对比得到最优解。不过，回溯算法的时间复杂度非常高，是指数级别的，只能用来解决小规模数据的问题。对于大规模数据的问题，用回溯算法解决的执行效率就很低了。
尽管动态规划比回溯算法高效，但是，并不是所有问题，都可以用动态规划来解决。能用动态规划解决的问题，需要满足三个特征，最优子结构、无后效性和重复子问题。在重复子问题这一点上，动态规划和分治算法的区分非常明显。分治算法要求分割成的子问题，不能有重复子问题，而动态规划正好相反，动态规划之所以高效，就是因为回溯算法实现中存在大量的重复子问题。
贪心算法实际上是动态规划算法的一种特殊情况。它解决问题起来更加高效，代码实现也更加简洁。不过，它可以解决的问题也更加有限。它能解决的问题需要满足三个条件，最优子结构、无后效性和贪心选择性（这里我们不怎么强调重复子问题）
其中，最优子结构、无后效性跟动态规划中的无异。“贪心选择性”的意思是，通过局部最优的选择，能产生全局的最优选择。每一个阶段，我们都选择当前看起来最优的决策，所有阶段的决策完成之后，最终由这些局部最优解构成全局最优解。
内容小结
我首先讲了什么样的问题适合用动态规划解决。这些问题可以总结概括为“一个模型三个特征”。其中，“一个模型”指的是，问题可以抽象成分阶段决策最优解模型。“三个特征”指的是最优子结构、无后效性和重复子问题。
然后，我讲了两种动态规划的解题思路。它们分别是状态转移表法和状态转移方程法。其中，状态转移表法解题思路大致可以概括为，回溯算法实现 - 定义状态 - 画递归树 - 找重复子问题 - 画状态转移表 - 根据递推关系填表 - 将填表过程翻译成代码。状态转移方程法的大致思路可以概括为，找最优子结构 - 写状态转移方程 - 将状态转移方程翻译成代码。
最后，我们对比了之前讲过的四种算法思想。贪心、回溯、动态规划可以解决的问题模型类似，都可以抽象成多阶段决策最优解模型。尽管分治算法也能解决最优问题，但是大部分问题的背景都不适合抽象成多阶段决策模型。
今天的内容比较偏理论，可能会不好理解。很多理论知识的学习，单纯的填鸭式讲给你听，实际上效果并不好。要想真的把这些理论知识理解透，化为己用，还是需要你自己多思考，多练习。等你做了足够多的题目之后，自然就能自己悟出一些东西，这样再回过头来看理论，就会非常容易看懂。
所以，在今天的内容中，如果有哪些地方你还不能理解，那也没关系，先放一放。下一节，我会运用今天讲到的理论，再解决几个动态规划的问题。等你学完下一节，可以再回过头来看下今天的理论知识，可能就会有一种顿悟的感觉。
动态规划实战：如何实现搜索引擎中的拼写纠错功能
在Trie 树那节我们讲过，利用 Trie 树，可以实现搜索引擎的关键词提示功能，这样可以节省用户输入搜索关键词的时间。实际上，搜索引擎在用户体验方面的优化还有很多，比如你可能经常会用的拼写纠错功能。
当你在搜索框中，一不小心输错单词时，搜索引擎会非常智能地检测出你的拼写错误，并且用对应的正确单词来进行搜索。作为一名软件开发工程师，你是否想过，这个功能是怎么实现的呢？
如何量化两个字符串的相似度
计算机只认识数字，所以要解答开篇的问题，我们就要先来看，如何量化两个字符串之间的相似程度呢？有一个非常著名的量化方法，那就是编辑距离（Edit Distance）。
顾名思义，编辑距离指的就是，将一个字符串转化成另一个字符串，需要的最少编辑操作次数（比如增加一个字符、删除一个字符、替换一个字符）。编辑距离越大，说明两个字符串的相似程度越小；相反，编辑距离就越小，说明两个字符串的相似程度越大。对于两个完全相同的字符串来说，编辑距离就是 0。
根据所包含的编辑操作种类的不同，编辑距离有多种不同的计算方式，比较著名的有莱文斯坦距离（Levenshtein distance）和最长公共子串长度（Longest common substring length）。其中，莱文斯坦距离允许增加、删除、替换字符这三个编辑操作，最长公共子串长度只允许增加、删除字符这两个编辑操作。
而且，莱文斯坦距离和最长公共子串长度，从两个截然相反的角度，分析字符串的相似程度。莱文斯坦距离的大小，表示两个字符串差异的大小；而最长公共子串的大小，表示两个字符串相似程度的大小。
关于这两个计算方法，我举个例子给你说明一下。这里面，两个字符串 mitcmu 和 mtacnu 的莱文斯坦距离是 3，最长公共子串长度是 4。
了解了编辑距离的概念之后，我们来看，如何快速计算两个字符串之间的编辑距离？
如何编程计算莱文斯坦距离
之前我反复强调过，思考过程比结论更重要，所以，我现在就给你展示一下，解决这个问题，我的完整的思考过程。
这个问题是求把一个字符串变成另一个字符串，需要的最少编辑次数。整个求解过程，涉及多个决策阶段，我们需要依次考察一个字符串中的每个字符，跟另一个字符串中的字符是否匹配，匹配的话如何处理，不匹配的话又如何处理。所以，这个问题符合多阶段决策最优解模型。
我们前面讲了，贪心、回溯、动态规划可以解决的问题，都可以抽象成这样一个模型。要解决这个问题，我们可以先看一看，用最简单的回溯算法，该如何来解决。
回溯是一个递归处理的过程。如果 a[i]与 b[j]匹配，我们递归考察 a[i+1]和 b[j+1]。如果 a[i]与 b[j]不匹配，那我们有多种处理方式可选：
- 可以删除 a[i]，然后递归考察 a[i+1]和 b[j]；
- 可以删除 b[j]，然后递归考察 a[i]和 b[j+1]；
- 可以在 a[i]前面添加一个跟 b[j]相同的字符，然后递归考察 a[i]和 b[j+1];
- 可以在 b[j]前面添加一个跟 a[i]相同的字符，然后递归考察 a[i+1]和 b[j]；
- 可以将 a[i]替换成 b[j]，或者将 b[j]替换成 a[i]，然后递归考察 a[i+1]和 b[j+1]。
我们将上面的回溯算法的处理思路，翻译成代码，就是下面这个样子：
private char[] a = "mitcmu".toCharArray();
private char[] b = "mtacnu".toCharArray();
private int n = 6;
private int m = 6;
private int minDist = Integer.MAX_VALUE; // 存储结果
// 调用方式 lwstBT(0, 0, 0);
public lwstBT(int i, int j, int edist) {
if (i == n || j == m) {
if (i < n) edist += (n-i);
if (j < m) edist += (m - j);
if (edist < minDist) minDist = edist;
return;
}
if (a[i] == b[j]) { // 两个字符匹配
lwstBT(i+1, j+1, edist);
} else { // 两个字符不匹配
lwstBT(i + 1, j, edist + 1); // 删除a[i]或者b[j]前添加一个字符
lwstBT(i, j + 1, edist + 1); // 删除b[j]或者a[i]前添加一个字符
lwstBT(i + 1, j + 1, edist + 1); // 将a[i]和b[j]替换为相同字符
}
}
根据回溯算法的代码实现，我们可以画出递归树，看是否存在重复子问题。如果存在重复子问题，那我们就可以考虑能否用动态规划来解决；如果不存在重复子问题，那回溯就是最好的解决方法。
在递归树中，每个节点代表一个状态，状态包含三个变量 (i, j, edist)，其中，edist 表示处理到 a[i]和 b[j]时，已经执行的编辑操作的次数。
在递归树中，(i, j) 两个变量重复的节点很多，比如 (3, 2) 和 (2, 3)。对于 (i, j) 相同的节点，我们只需要保留 edist 最小的，继续递归处理就可以了，剩下的节点都可以舍弃。所以，状态就从 (i, j, edist) 变成了 (i, j, min_edist)，其中 min_edist 表示处理到 a[i]和 b[j]，已经执行的最少编辑次数。
看到这里，你有没有觉得，这个问题跟上两节讲的动态规划例子非常相似？不过，这个问题的状态转移方式，要比之前两节课中讲到的例子都要复杂很多。上一节我们讲的矩阵最短路径问题中，到达状态 (i, j) 只能通过 (i-1, j) 或 (i, j-1) 两个状态转移过来，而今天这个问题，状态 (i, j) 可能从 (i-1, j)，(i, j-1)，(i-1, j-1) 三个状态中的任意一个转移过来。
基于刚刚的分析，我们可以尝试着将把状态转移的过程，用公式写出来。这就是我们前面讲的状态转移方程。
如果：a[i]!=b[j]，那么：min_edist(i, j)就等于：
min(min_edist(i-1,j)+1, min_edist(i,j-1)+1, min_edist(i-1,j-1)+1)如果：a[i]==b[j]，那么：min_edist(i, j)就等于：
min(min_edist(i-1,j)+1, min_edist(i,j-1)+1，min_edist(i-1,j-1))其中，min表示求三数中的最小值。
了解了状态与状态之间的递推关系，我们画出一个二维的状态表，按行依次来填充状态表中的每个值。
我们现在既有状态转移方程，又理清了完整的填表过程，代码实现就非常简单了。我将代码贴在下面，你可以对比着文字解释，一起看下。
public int lwstDP(char[] a, int n, char[] b, int m) {
int[][] minDist = new int[n][m];
for (int j = 0; j < m; ++j) { // 初始化第0行:a[0..0]与b[0..j]的编辑距离
if (a[0] == b[j]) minDist[0][j] = j;
else if (j != 0) minDist[0][j] = minDist[0][j-1]+1;
else minDist[0][j] = 1;
}
for (int i = 0; i < n; ++i) { // 初始化第0列:a[0..i]与b[0..0]的编辑距离
if (a[i] == b[0]) minDist[i][0] = i;
else if (i != 0) minDist[i][0] = minDist[i-1][0]+1;
else minDist[i][0] = 1;
}
for (int i = 1; i < n; ++i) { // 按行填表
for (int j = 1; j < m; ++j) {
if (a[i] == b[j]) minDist[i][j] = min(
minDist[i-1][j]+1, minDist[i][j-1]+1, minDist[i-1][j-1]);
else minDist[i][j] = min(
minDist[i-1][j]+1, minDist[i][j-1]+1, minDist[i-1][j-1]+1);
}
}
return minDist[n-1][m-1];
}
private int min(int x, int y, int z) {
int minv = Integer.MAX_VALUE;
if (x < minv) minv = x;
if (y < minv) minv = y;
if (z < minv) minv = z;
return minv;
}
你可能会说，我虽然能看懂你讲的思路，但是遇到新的问题的时候，我还是会感觉到无从下手。这种感觉是非常正常的。关于复杂算法问题的解决思路，我还有一些经验、小技巧，可以分享给你。
当我们拿到一个问题的时候，**我们可以先不思考，计算机会如何实现这个问题，而是单纯考虑“人脑”会如何去解决这个问题。**人脑比较倾向于思考具象化的、摸得着看得见的东西，不适合思考过于抽象的问题。所以，我们需要把抽象问题具象化。那如何具象化呢？我们可以实例化几个测试数据，通过人脑去分析具体实例的解，然后总结规律，再尝试套用学过的算法，看是否能够解决。
除此之外，我还有一个非常有效、但也算不上技巧的东西，我也反复强调过，那就是多练。实际上，等你做多了题目之后，自然就会有感觉，看到问题，立马就能想到能否用动态规划解决，然后直接就可以寻找最优子结构，写出动态规划方程，然后将状态转移方程翻译成代码。
如何编程计算最长公共子串长度
前面我们讲到，最长公共子串作为编辑距离中的一种，只允许增加、删除字符两种编辑操作。从名字上，你可能觉得它看起来跟编辑距离没什么关系。实际上，从本质上来说，它表征的也是两个字符串之间的相似程度。
这个问题的解决思路，跟莱文斯坦距离的解决思路非常相似，也可以用动态规划解决。我刚刚已经详细讲解了莱文斯坦距离的动态规划解决思路，所以，针对这个问题，我直接定义状态，然后写状态转移方程。
每个状态还是包括三个变量 (i, j, max_lcs)，max_lcs 表示 a[0…i]和 b[0…j]的最长公共子串长度。那 (i, j) 这个状态都是由哪些状态转移过来的呢？
我们先来看回溯的处理思路。我们从 a[0]和 b[0]开始，依次考察两个字符串中的字符是否匹配。
- 如果 a[i]与 b[j]互相匹配，我们将最大公共子串长度加一，并且继续考察 a[i+1]和 b[j+1]。
- 如果 a[i]与 b[j]不匹配，最长公共子串长度不变，这个时候，有两个不同的决策路线：
- 删除 a[i]，或者在 b[j]前面加上一个字符 a[i]，然后继续考察 a[i+1]和 b[j]；
- 删除 b[j]，或者在 a[i]前面加上一个字符 b[j]，然后继续考察 a[i]和 b[j+1]。
反过来也就是说，如果我们要求 a[0…i]和 b[0…j]的最长公共长度 max_lcs(i, j)，我们只有可能通过下面三个状态转移过来：
- (i-1, j-1, max_lcs)，其中 max_lcs 表示 a[0…i-1]和 b[0…j-1]的最长公共子串长度；
- (i-1, j, max_lcs)，其中 max_lcs 表示 a[0…i-1]和 b[0…j]的最长公共子串长度；
- (i, j-1, max_lcs)，其中 max_lcs 表示 a[0…i]和 b[0…j-1]的最长公共子串长度。
如果我们把这个转移过程，用状态转移方程写出来，就是下面这个样子：
如果：a[i]==b[j]，那么：max_lcs(i, j)就等于：
max(max_lcs(i-1,j-1)+1, max_lcs(i-1, j), max_lcs(i, j-1))；如果：a[i]!=b[j]，那么：max_lcs(i, j)就等于：
max(max_lcs(i-1,j-1), max_lcs(i-1, j), max_lcs(i, j-1))；其中max表示求三数中的最大值。
有了状态转移方程，代码实现就简单多了。我把代码贴到了下面，你可以对比着文字一块儿看。
public int lcs(char[] a, int n, char[] b, int m) {
int[][] maxlcs = new int[n][m];
for (int j = 0; j < m; ++j) {//初始化第0行：a[0..0]与b[0..j]的maxlcs
if (a[0] == b[j]) maxlcs[0][j] = 1;
else if (j != 0) maxlcs[0][j] = maxlcs[0][j-1];
else maxlcs[0][j] = 0;
}
for (int i = 0; i < n; ++i) {//初始化第0列：a[0..i]与b[0..0]的maxlcs
if (a[i] == b[0]) maxlcs[i][0] = 1;
else if (i != 0) maxlcs[i][0] = maxlcs[i-1][0];
else maxlcs[i][0] = 0;
}
for (int i = 1; i < n; ++i) { // 填表
for (int j = 1; j < m; ++j) {
if (a[i] == b[j]) maxlcs[i][j] = max(
maxlcs[i-1][j], maxlcs[i][j-1], maxlcs[i-1][j-1]+1);
else maxlcs[i][j] = max(
maxlcs[i-1][j], maxlcs[i][j-1], maxlcs[i-1][j-1]);
}
}
return maxlcs[n-1][m-1];
}
private int max(int x, int y, int z) {
int maxv = Integer.MIN_VALUE;
if (x > maxv) maxv = x;
if (y > maxv) maxv = y;
if (z > maxv) maxv = z;
return maxv;
}
解答开篇
今天的内容到此就讲完了，我们来看下开篇的问题。
当用户在搜索框内，输入一个拼写错误的单词时，我们就拿这个单词跟词库中的单词一一进行比较，计算编辑距离，将编辑距离最小的单词，作为纠正之后的单词，提示给用户。
这就是拼写纠错最基本的原理。不过，真正用于商用的搜索引擎，拼写纠错功能显然不会就这么简单。一方面，单纯利用编辑距离来纠错，效果并不一定好；另一方面，词库中的数据量可能很大，搜索引擎每天要支持海量的搜索，所以对纠错的性能要求很高。
针对纠错效果不好的问题，我们有很多种优化思路，我这里介绍几种。
- 我们并不仅仅取出编辑距离最小的那个单词，而是取出编辑距离最小的 TOP 10，然后根据其他参数，决策选择哪个单词作为拼写纠错单词。比如使用搜索热门程度来决定哪个单词作为拼写纠错单词。
- 我们还可以用多种编辑距离计算方法，比如今天讲到的两种，然后分别编辑距离最小的 TOP 10，然后求交集，用交集的结果，再继续优化处理。
- 我们还可以通过统计用户的搜索日志，得到最常被拼错的单词列表，以及对应的拼写正确的单词。搜索引擎在拼写纠错的时候，首先在这个最常被拼错单词列表中查找。如果一旦找到，直接返回对应的正确的单词。这样纠错的效果非常好。
- 我们还有更加高级一点的做法，引入个性化因素。针对每个用户，维护这个用户特有的搜索喜好，也就是常用的搜索关键词。当用户输入错误的单词的时候，我们首先在这个用户常用的搜索关键词中，计算编辑距离，查找编辑距离最小的单词。
针对纠错性能方面，我们也有相应的优化方式。我讲两种分治的优化思路。
- 如果纠错功能的 TPS 不高，我们可以部署多台机器，每台机器运行一个独立的纠错功能。当有一个纠错请求的时候，我们通过负载均衡，分配到其中一台机器，来计算编辑距离，得到纠错单词。
- 如果纠错系统的响应时间太长，也就是，每个纠错请求处理时间过长，我们可以将纠错的词库，分割到很多台机器。当有一个纠错请求的时候，我们就将这个拼写错误的单词，同时发送到这多台机器，让多台机器并行处理，分别得到编辑距离最小的单词，然后再比对合并，最终决定出一个最优的纠错单词。
真正的搜索引擎的拼写纠错优化，肯定不止我讲的这么简单，但是万变不离其宗。掌握了核心原理，就是掌握了解决问题的方法，剩下就靠你自己的灵活运用和实战操练了。
内容小结
动态规划的三节内容到此就全部讲完了，不知道你掌握得如何呢？
动态规划的理论尽管并不复杂，总结起来就是“一个模型三个特征”。但是，要想灵活应用并不简单。要想能真正理解、掌握动态规划，你只有多练习。
这三节中的动态规划问题都非常经典，是我精心筛选出来的。很多动态规划问题其实都可以抽象成这几个问题模型，所以，你一定要多看几遍，多思考一下，争取真正搞懂它们。
只要弄懂了这几个问题，一般的动态规划问题，你应该都可以应付。对于动态规划这个知识点，你就算是入门了，再学习更加复杂的就会简单很多。
课后思考
我们有一个数字序列包含 n 个不同的数字，如何求出这个序列中的最长递增子序列长度？比如 2, 9, 3, 6, 5, 1, 7 这样一组数字序列，它的最长递增子序列就是 2, 3, 5, 7，所以最长递增子序列的长度是 4。