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在向量微积分中，雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式称为雅可比行列式。雅可比矩阵的重要性在于它体现了一个可微方程与给出点的最优线性逼近。因此，雅可比矩阵类似于多元函数的导数。 [1]     

中文名

雅可比矩阵

外文名

jacobi matrix

定    义

一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵

应用学科

线性代数

目录

1. 1 定义
2. 2 简介

1. 3 例子
2. 4 逆矩阵

1. 5 MATLAB代码
2. 6 面积元证明

定义

编辑 播报 设U⊂ℝn，f:U→ℝk为光滑映射，fi:=ui∘f:U→ℝ为分量函数，则f在p点的雅克比矩阵为k×n矩阵Df(p)，其(i,j)矩阵元为Djfi(p)。 [2] 

简介

编辑 播报 在向量分析中，雅可比矩阵是函数的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式称为雅可比行列式。 在代数几何中，代数曲线的雅可比行列式表示雅可比簇：伴随该曲线的一个代数群，曲线可以嵌入其中。 它们全部都以数学家卡尔·雅可比命名；英文雅可比行列式"Jacobian"可以发音为[ja ˈko bi ən]或者[ʤə ˈko bi ən]。 假设某函数从  映到 ， 其雅可比矩阵是从 到 的线性映射，其重要意义在于它表现了一个多变数向量函数的最佳线性逼近。因此，雅可比矩阵类似于单变数函数的导数。 假设 是一个从n维欧氏空间映射到到m维欧氏空间的函数。这个函数由m个实函数组成： 。这些函数的偏导数(如果存在)可以组成一个m行n列的矩阵，这个矩阵就是所谓的雅可比矩阵： 此矩阵用符号表示为： ，或者 这个矩阵的第 i行是由梯度函数的转置表示的 如果p是 中的一点，F在 p点可微分，根据高等微积分， 是在这点的导数。在此情况下， 这个线性映射即F在点p附近的最优线性逼近，也就是说当x足够靠近点p时，我们有

例子

编辑 播报 由球坐标系到直角坐标系的转化由F函数给出︰ 此坐标变换的雅可比矩阵是 的F函数: 其雅可比矩阵为: 此例子说明雅可比矩阵不一定为方阵。

逆矩阵

编辑 播报 根据反函数定理，一个可逆函数（存在反函数的函数）的雅可比矩阵的逆矩阵即为该函数的反函数的雅可比矩阵。即，若函数 在点 的雅可比矩阵是连续且可逆的，则F在点 p的某一邻域内也是可逆的，且有 [1]  成立。相反，倘若雅可比行列式在某一个点不为零，那么该函数在这个点的某一邻域内可逆（存在反函数）。 一个多项式函数的可逆性与非经证明的雅可比猜想有关。其断言，如果函数的雅可比行列式为一个非零实数（相当于其不存在复零点），则该函数可逆且其反函数也为一个多项式。

MATLAB代码

编辑 播报 MATLAB中jacobian是用来计算Jacobi矩阵的函数。 syms r l f x=r*cos(l)*cos(f); y=r*cos(l)*sin(f); z=r*sin(l); J=jacobian([x;y;z],[r l f]) 结果： J = [ cos(l)*cos(f), -r*sin(l)*cos(f), -r*cos(l)*sin(f)] [ cos(l)*sin(f), -r*sin(l)*sin(f), r*cos(l)*cos(f)] [ sin(l), r*cos(l), 0 ]

面积元证明

编辑 播报 二维下dx(u,v)dy(u,v)=Jdudv成立 证明：对于曲面x=x(u,v),y=y(u,v),取它的微元，即小曲边四边形ABCD，其中 A(u,v),B(u+△u,v),C(u+△u,v+△v),D(u,v+△v),这个曲边四边形ABCD可以近似看成由微小向量B(u+△u,v)-A(u,v)和D(u,v+△v)-A(u,v)张成。 利用中值定理可知： (u+△u,v)-(u,v)=Mdu (u,v+△v)-(u,v)=Ndv 式中M，N为偏导数形式，可以通过简单计算得出。 当变化量很小时， 将(u+△u,v)-(u,v)近似看为dx(u,v) (u,v+△v)-(u,v)近似看为dy(u,v)， 故dx(u,v)dy(u,v)=M*Ndudv 式中M*N为二维Jacobi行列式的展开形式。 由此得证。   词条图册更多图册 概述图册(2)  

参考资料

• 1.  戴华, 姚承勇. Jacobi 矩阵逆特征问题解存在的条件[J]. 高等学校计算数学学报, 2003, 25(1): 40-49.
• 2.  Gerard Walschap．微分几何中的度量结构：Springer，2004